1.1.6　离散傅里叶变换

序列傅里叶变换是在数字频域分析信号频谱和系统频响，但数字角频率ω=ΩT是模拟量，不便于用数字方法处理，需要将其离散化。离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）建立了有限长序列与离散频谱之间的联系，它不仅具有重要的理论意义，而且具有极大的实用价值。理论上，它是序列傅里叶变换的采样值，能用来分析信号的频谱和系统的频响；实践上，它不仅适用于计算机和专用数字信号处理器，而且有快速实现的算法。离散傅里叶变换是数字信号处理的核心内容。

对于一个长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换及其反变换的定义式为

习惯上常采用WN表示，因此定义式可写为

式中x(n)和X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对。长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)是一个有限长频域序列，其长度依然为N。已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样，已知X(k)也就唯一地确定了x(n)。

例1.1.5　若是一个N=12的有限长序列，求其DFT。

解：

x(n)和X(k)如图1.13所示。

将DFT的定义式

与有限长序列的Z变换公式

相对照，可以看出，当时，有

因为是z平面单位圆上辐角为的点，即将z平面单位圆N等分后的第k点，所以式（1.1.19）表明，序列X(k)是X(z)在z平面单位圆上的等距离采样值。1.1.5节介绍过，X(z)在单位圆上的值是信号的频谱X(ejω)，所以X(k)是信号频谱X(ejω)的采样值，采样间隔为。也就是说，离散傅里叶变换不仅在时域是离散的，而且实现了频域的离散化，这为在频域采用数字技术处理提供了方法和手段。特别是DFT的快速算法——快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的提出，使DFT运算量大大减少，成为既有理论意义又有实用价值的强有力的工具。

前面的讨论表明，DFT实现了频域的采样，读者自然会想到：这样采样后信息是否有损失？从采样得到的X(k)能否恢复原时域序列x(n) ？接下来对此进行分析。

设x(n)是一绝对可积的序列（暂不考虑序列长度），则x(n)的Z变换在z平面单位圆上一定收敛。现对X(z)在z平面单位圆上进行N点等距离采样，即对X(ejω)进行N点等距离采样，得

对采样得到的序列X(k)求离散傅里叶反变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT），有

将

代入式（1.1.20），得

式（1.1.21）中的矩形序列RN(n)表示取0≤n≤N-1。

从式（1.1.21）可以看出，由X(ejω)的N点等距离采样值X(k)得到的时域序列IDFT[X(k)]，是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓，再截取主值区间。如果原序列x(n)是有限长的，其长度为M，那么当N<M，即在频域的采样点不够密时，x(n)的周期延拓就会出现某些序列值交叠在一起，产生混叠失真。这样，从就不可能不失真地恢复出原序列来。

回顾时域采样定理的内容如下。

（1）时域采样造成频域序列的周期延拓。

（2）一个频带有限的信号可以进行时域采样而不丢失信息的条件是采样频率fs≥2fm（fm是信号最高频率）。

通过上面的分析，可以得出与时域采样定理对称的频域采样定理如下。

（1）频域采样造成时域序列的周期延拓。

（2）一个时间有限的信号（有限长序列）可以进行频域采样而不丢失信息的条件是单位圆上的采样点数N≥序列长度M。

例如，对无限长序列x(n)=anu(n)，|a|<1，可以求得

上式中的只能随着采样点数N的增加逐渐逼近anu(n)，而不能精确地等于anu(n)。

频域采样定理表明，对于长度为N的有限长序列x(n)，N个频域采样值X(k)就足以不失真地代表它，所以对长度为N的有限长序列求N点DFT即可。但实用中有时也会将DFT的点数取得大于序列长度，这等效于在单位圆上的采样点增多。DFT的点数越多，样点越密，离散谱越能反映真实谱的形状。

既然N个采样值X(k)能不失真地代表长度为N的有限长序列x(n)，它也应该能够完全地表达整个X(z)函数及其频响X(ejω)。下面找出它们的关系。

将

和

代入有限长序列的Z变换公式，有

由于，所以

式（1.1.22）就是用N个采样值X(k)表示X(z)的内插公式。如果用Φk(z)表示内插函数，则

令z=ejω，由Z变换内插公式可以得到频响的内插公式

令，，则上式可以写为

将式（1.1.24）代入式（1.1.23），得

从式（1.1.25）可以看出，连续谱X(ejω)等于内插函数φ(ω)依次移频并以X(k)加权后求和，如图1.14所示。

例1.1.6　设长度为5的有限长序列x(n)=1，（n=0,1,2,3,4），求序列傅里叶变换及10点离散傅里叶变换。

解：（1）序列傅里叶变换

（2）10点离散傅里叶变换

如果对2π进行10等分，则10个等分点的角频率分别为

可以看出，序列傅里叶变换X(ejω)在这10个等分点上的值就等于离散傅里叶变换的值X(k)。X(ejω)以及10点X(k)的模分别如图1.15（a）和图1.15（b）所示。