1.1.7　IIR系统与FIR系统

离散时间系统可以从多个角度分类，常用的一种分类方法是按系统单位脉冲响应h(n)的长度将系统分成两大类：IIR系统和FIR系统。

如果在一个单位脉冲δ(n)作用下，系统的输出h(n)延续到无限长（理论上趋于零又不等于零），则称该系统为无限长单位脉冲响应（Infinite Impulse Response，IIR）系统；反之，如果h(n)有限长，则称该系统为有限长单位脉冲响应（Finite Impulse Response，FIR）系统。

IIR系统和FIR系统有一些不同的特点，下面做简单分析。

（1）实现结构

线性移不变离散时间系统的标准差分方程为

其一般实现结构如图1.16所示。

从图1.16所示的实现结构可以看出，y(n)取决于前馈项x(n-i)和反馈项y(n-i)。如果至少有一个ai不等于0，则必然存在反馈项，该系统就是“递归”的。反之，如果ai全为0，则没有反馈项，该系统就是“非递归”的。

将差分方程转换到Z域，可得系统函数

对FIR系统来说，其单位脉冲响应h(n)的长度为有限长序列。根据前面的介绍，有限长序列的Z变换在“有限z平面”上没有极点，所以FIR系统所有的ai应全为0，也就是没有反馈项，对应非递归结构，其系统函数可表示为

式中的bi实际上就是FIR系统的单位脉冲响应h(n)。单位脉冲响应h(n)长度为N的FIR系统的常用结构如图1.17所示。该结构在后面的预测误差滤波器和自适应滤波器中会经常用到。

另一方面，只要有一个ai不等于0，那么“有限z平面”上就有极点，系统就属于IIR系统。IIR系统存在反馈项，所以必然是递归结构。

需要说明的是，利用零、极点相抵消的方法，也可以用递归结构实现FIR系统。也就是说，非递归结构的数字滤波器必然是FIR系统，但FIR系统未必是非递归结构；IIR系统必然是递归结构，但递归结构的数字滤波器未必是IIR系统。

（2）滤波性能

IIR系统和FIR系统的滤波性能可以简单总结如下。

①FIR系统在有限z平面上没有极点，所以不存在稳定、因果方面的问题（非因果的有限长序列可以通过一定的延时转变为因果序列）。

②在同样的频率选择性要求下，IIR系统需要的阶次低；FIR系统因为无极点，要获得好的过渡带特性需以较高的阶数为代价。

③FIR系统可以实现精确、严格的线性相位，只要其单位脉冲响应h(n)满足奇对称或偶对称的条件（h(n)为实序列）；而IIR系统很难实现线性相位。