1.1.5　序列傅里叶变换与系统频响

z平面单位圆上的Z变换称为序列傅里叶变换，也叫离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。令z=ejω，由Z变换定义式（1.1.11）可得序列傅里叶变换的定义式为

将

定义为序列傅里叶反变换。将z平面的单位圆定义为数字频域，用来表征信号和系统的频率特性。

由于序列傅里叶变换是Z变换的特例（单位圆上的Z变换），因此它具有Z变换的一切特性。除了前面列出的Z变换的性质，它还另有一些常用的性质，如表1.3所示。表1.3中第5条和第8条是Z变换性质中没有出现的，现做简单介绍。

（1）时域序列的乘积对应于数字频域的卷积

如果w(n)=x(n)y(n)，则

（2）帕塞瓦尔（Parseval）定律

当y(n)=x(n)时，上式成为

式（1.1.18）的物理意义是，时域序列的总能量等于频域的总能量。

这两条性质在Z变换中也有相应的公式，因为计算复杂且物理意义不直观，所以在Z变换性质中没有提及。

序列傅里叶变换是ω的周期函数，周期为2π，它反映了信号和系统的频率特性。信号序列x(n)的序列傅里叶变换X(ejω)是信号的频谱，系统单位脉冲响应h(n)的序列傅里叶变换H(ejω)是系统的频响，它是系统函数H(z)在单位圆上的值。

系统频响可分解为模和辐角两部分，分别称为幅频特性和相频特性，表示为

其中，|H(ejω)|表示幅频特性，arg[H(ejω)]表示相频特性。要确定系统的频响H(ejω)，可以求h(n)的序列傅里叶变换，也可以求H(z)在单位圆上的值。下面介绍一种估算系统频响的直观方法——几何法确定系统频响。

前已述及，系统函数可以用其零、极点表示为

令z=ejω，可得系统的频响为

其中。

在z平面上，ejω-ci可以用一由零点ci指向单位圆上ejω点的向量来表示，此向量被称作零向量。同样，ejω-di可以用一由极点di指向单位圆上ejω点的向量来表示，此向量被称作极向量。如果不考虑常数因子A，则有

当数字角频率ω从0变化到2π时，这些向量的终端点在单位圆上逆时针旋转一周，由此可以估算出系统在0～2π范围内的频响。例如，已知因果稳定系统的差分方程为

可以求出以下各项。

（1）系统函数

（2）零、极点分布图及收敛域

零、极点分布图及收敛域如图1.11所示。

（3）系统的单位脉冲响应

（4）系统频响

（5）幅频、相频特性曲线

由频响表达式可以求出幅频特性、相频特性为

根据上面的两个表达式可以画出幅频、相频特性曲线。但在估计系统频响的大致特性时，一般不采用该方法，而是利用几何法画出幅频、相频特性曲线。

在零、极点分布图上画出零向量和极向量，如图1.12（a）所示。使ω从0变化到2π，记录下该过程中零向量、极向量的模和辐角的变化情况，可以画出幅频特性、相频特性的大致曲线如图1.12（b）、图1.12（c）所示。

几何法确定系统频响有助于认识零、极点分布对系统频响的影响，这种影响可以总结如下。

（1）频响在极点附近出现峰值，极点越靠近单位圆峰越尖锐。如果极点在单位圆上则系统不稳定。

（2）频响在零点附近出现谷值，零点越靠近单位圆谷值越接近0。如果零点在单位圆上则谷值为0，即该零点处的频响为0。