10.5 柯西－黎曼方程

但在进入下一章要说的高维情形之前，我们先回到本章开始时提出的问题：那种能够重新解释为一维复流形的所需的二维曲面的性质是什么。基本上看，我们需要一种刻画这些全纯复值函数Φ的方法。全纯条件是一种局部条件，因此我们可将其看成是在每个拼块上满足的条件，并要求它在拼块间的重叠处具有相容性。在（x，y）拼块上，我们要求Φ关于复数z=x+iy是全纯的，在重叠的（X，Y）拼块上，则要求Φ关于复数Z=X+iY是全纯的。二者间的相容性由下述要求来保证：在重叠区域，Z是z的全纯函数，反之亦然。（如果在z拼块上Φ是全纯的，那么Φ必在Z拼块上也是全纯的，因为全纯函数的全纯函数仍是全纯函数。**〔10.10〕）

现在，我们如何根据Φ和z的实部和虚部来表示Φ的全纯性条件呢？这些条件就是§7.1所述的柯西－黎曼方程。但这个方程的显形式是什么样的呢？我们可以将Φ想象成由z和来表示（正如我们在本章开头看到的，z的实部和虚部，即x和y，可根据z和重新表示为x=（z+）/2和y=（z－）/2i）。我们必须将这个条件表示成Φ“仅依赖于z”（即“与z无关”）。

这意味着什么呢？想象一下，如果我们不是用复共轭对z和，而是譬如说用独立的变量u和v。我们要表达的是这样一个事实：某个作为u和v的函数的量Ψ实际上与v无关。这种独立性可表示为

（因为这个方程告诉我们，对每个u值，Ψ关于v都是常数，因此Ψ仅与u相关）。[4]相应地，Φ“独立于”就应当表示为

它确实表达了Φ的全纯性（虽然这种“类比论证”不应作为这一事实的证明）。[5]利用链式法则，我们可根据（x，y）坐标系下的偏导数将这个方程重新表述为：**〔10.11〕

将Φ写成其实部和虚部：

Φ=α+iβ，

这里α和β都是实数，我们得到柯西－黎曼方程[6]，***〔10.12〕

由于在（x，y）坐标拼块与（X，Y）坐标拼块的重叠区，我们要求Z=X+iY关于复数z=x+iy是全纯的，因此在（x，y）与（X，Y）之间也有柯西－黎曼方程成立：

如果这个条件在任意两坐标拼块之间成立，那么经过总合我们就得到黎曼曲面S。（这些就是我在§7.1提到的必需的解析条件。）我们知道，这种曲面也可以看成是一维复流形。但是，按照目前的“柯西－黎曼”观点，我们认为S是一种具有特殊结构（即由柯西－黎曼方程确定的）的二维实流形。

与那种“纯粹的”坚持全纯运算并将S视为“曲线”的观点（一种对我们后述内容（第33章，§34.8）具有重要意义的哲学观点）相比，“柯西－黎曼”观点在许多方面都显得非常有力。例如，它容许我们利用偏微分方程的存在性理论方面的许多有用的技术来证明结果。下面我们试给出（重要的）一例。

如果柯西－黎曼方程∂α/∂x=∂β/∂y和∂α/∂y=－∂β/∂x成立，那么α和β中的每一个量都将单独满足特定的方程（拉普拉斯方程）。因为我们有*〔10.13〕

这里二阶导数算子▽2称为（二维）拉普拉斯算子，定义为

拉普拉斯算子在许多物理领域有着重要应用（§21.2，§22.11，§§24.3－6）。例如，假如我们在金属丝框架上张起一层肥皂液膜，并让它的两边相对于水平面有一轻微的抬高，如图10.10所示。这样，薄膜高于水平面的高度将是拉普拉斯方程的一个解（这种垂直偏离越小，解的近似程度就越高）。[7]（三维）拉普拉斯方程在牛顿引力理论（和静电理论，见17和19章）里扮演着重要角色，因为这个方程满足自由空间引力场（或静电力场）的势函数。

柯西－黎曼方程的解可由二维拉普拉斯方程的解直接导出。如果我们有满足▽2α=0的α，则可按β=∫（∂α/∂x）dy来构造β；这样，我们会发现两个柯西－黎曼方程都得到满足。**〔10.14〕这一事实可用来证明和演示上章末的结论。

我们具体地考虑§9.7末的结论，即任何定义在复平面单位圆上的连续函数f都能够表示为一个超函数。这个论断还可以表述为：任何连续的f都能够表示为两部分之和，一部分全纯地扩展到单位圆的内部，另一部分全纯地扩展到单位圆的外部。这里我们将复平面完全看成是黎曼球面。按照§9.2的讨论，这个断言也等价于存在f的傅立叶级数表示，这里f被看成是一个实变量的周期函数。为简单计，我们假定f是实值的。（复值情形可按照将f分成实部和虚部来进行。）存在这样的定理：我们能够将f连续地扩展到圆的内部，在圆内f满足▽2f=0。（这一事实直观上很容易理解，我们不妨借助图10.10对肥皂膜的讨论来说明。为此，按某个固定的小数ε将f适当地缩小为新函数εf，可以想见，现在这个金属丝框架处于复平面的单位圆上，其两边略微抬高一个量εf。[8]张起的肥皂液膜的高度在圆上和圆内分别给出εf和f。）利用上述g=∫（∂f/∂x）dy，我们可以得到作为f的虚部的g，这样f+ig在整个单位圆内部都是全纯的。这个步骤也适用于产生单位圆上的f的虚部的g（一般是超函数形式，因此f+ig是负频率）。现在我们重复运用这个步骤到单位圆的外部（但仍视为是在黎曼球面上），就会发现，f－ig连续扩展到圆的外部，并且是正频率。而f=（f+ig）+（f－ig）正好给出我们所需的结果。