10.4 分量，标量积

按照表达式

矢量场ξ可看成是由两部分组成的，一部分正比于∂/∂x，指向常数y的坐标线方向；另一部分正比于∂/∂y，指向常数x的坐标线方向。因此在（x，y）坐标系下，我们可用相关的权重因子对（a，b）来表示ξ。数字a和b分别表示ξ在该坐标系下的分量，见图10.9。（严格来说，ξ的这两个“分量”实际上是组成矢量场ξ的两个矢量场a∂/∂x和b∂/∂y，见图10.9——对下面dΦ的分量我们也可作同样的理解。但“分量”一词现在在许多数学文献中已获得“坐标标签”的意义，特别是联系到张量计算的情形就更是如此，见§12.8。）

图10.9 矢量ξ=a∂/∂x+b∂/∂y可看成是由两部分组成的：一部分正比于∂/∂x，方向沿y=常数的坐标线方向：另一部分正比于∂/∂y，方向沿x=常数的坐标线方向。相关的权重因子（a，b）称为ξ在（x，y）坐标系下的分量。

类似地，量dΦ（“1形式”）由dx和dy两项组成：

dΦ=udx+vdy。

这样，（u，v）可用来表示dΦ，数字u和v是dΦ在同一坐标系下的分量。（实际上，这里我们有u=∂Φ/∂x和v=∂Φ/∂y。）1形式dΦ的分量（u，v）与矢量场ξ的分量（a，b）之间的关系可通过量ξ（Φ）获得，正如我们上面看到的，这个量量度Φ在ξ方向上的增长率。我们发现，*〔10.9〕ξ（Φ）的值由下式给出：

ξ（Φ）=au+bv。

我们称au+bv为（a，b）代表的ξ与（u，v）代表的dΦ之间的标量积（或内积）。这个标量积有时也写成dΦ·ξ，如果我们不打算考虑具体坐标系而只是抽象地表示的话。我们有

dΦ·ξ=ξ（Φ）。

这里，同一个公式之所以有两种不同的记号，是因为dΦ·ξ的运算表达式可以运用到比dΦ的表达式更一般的1形式上（§12.3）。如果η是一个这样的1形式，则它与任意矢量场ξ有标量积η·ξ。

实际上，1形式的定义本质上可看成是这样一个量，它和矢量场结合形成“标量积”。因此，量dΦ与矢量场形成标量积这个事实也可以刻画为1形式。（在有些文献中，1形式又称为余矢量。）在这个意义上，1形式（余矢量）与矢量场是对偶关系。“对偶”概念在§12.3里有较详细的叙述，在那里我们会看到这些概念在高维“曲面”（即n流形）上的相当一般的应用。高维下1形式的几何意义见§§12.3－5，眼下它就是等高线族。如果dΦ·ξ=0（即如果ξ（Φ）=0），则这些线表示箭头ξ所指的方向。