1.3 非线性控制理论与方法_汽油发动机电控系统核心控制算法-QQ阅读男生科幻网

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1.3 非线性控制理论与方法

汽车发动机系统是典型的机电液耦合系统，随着基于模型的控制不断深入，越来越多的控制方法被引入研究。为了更好地方便读者理解，本节将后续涉及相关控制方法的基本理论做一些简要概述。

1.3.1 反步法

反步法（Back-stepping）作为一种严格按照李雅普诺夫（Lyapunov）函数来推导控制律的控制器设计方法，可以得到在李雅普诺夫意义下的保证系统全局稳定的控制律。

考虑目标系统形如

式中，[η，ξ]T为系统状态；u∈ R，为系统控制输入；函数f: D→Rn和函数g:D→Rn在包含原点以及（f 0）=0的定义域D⊂ Rn上是光滑可微的（或者某阶导数存在即可），并且f和g均为已知函数。

目标便是设计出状态反馈控制律来稳定原点（ξ=0，η=0）。

可以考虑将系统分解为方程（1-1a）和方程（1-1b）两部分组成级联系统，设方程（1-1a）可通过状态反馈控制律ξ=ϕ（η）及ϕ（0）=0达到稳定，也就是说式（1-2）具有原点稳定性

假设已知Lyapunov函数V（η）是光滑正定的，同时满足

式中，W（η）为正定。

按如下方式进行变换：首先将方程（1-1a）右边两项分别加减一项g（η）ϕ（η），则目标系统化为

定义z为

这样目标系统变为

定义，则目标系统的级联形式为

这样就与系统（1-1）所描述的目标系统的表达形式非常相似了。不同的是系统描述部分在输入为零时在原点具有渐进稳定性，而这个特点同样适用于的设计。为使整个系统稳定，选取

作为备选Lyapunov函数，得到

选择

可得到

这样，原点（η=0，z=0）是渐进稳定的。而ϕ（0）=0，进而得到原点（η=0，ξ=0）也是渐进稳定的，将v、z、代入后得到状态反馈控制律为

在所有假设都成立的情况下，并且V（η）是径向无界的，则原点是全局渐进稳定的。进而得到下述定理：

定理1.1 考虑系统（1-1），设ϕ（η）是方程（1-1a）的稳定状态反馈控制律，且ϕ（0）=0，对于某个正定函数W（η），V（η）是满足方程（1-2）的Lyapunov函数。则状态反馈控制律（1-8）可稳定系统（1-1）的原点，其中V（η）+[ξ-ϕ（η）]2/2为系统的Lyapunov函数。此外，如果所有假设都全局成立，且V（η）径向无界，则原点是全局渐进稳定的。

现在考察目标系统（1-1）更普遍的形式

式中，fa、ga均为光滑的。

如果在讨论的区域内g（aη，ξ）≠0，设ua=f（aη，ξ）+ga（η，ξ）u，则输入变为

这样一来，方程（1-9b）简化为积分器形式。因此，如果存在着一个稳定状态反馈控制律ϕ（η）及Lyapunov函数V（η），使方程（1-9a）满足上述条件，则由定理及方程（1-10）可得到整个系统（1-9）的稳定状态反馈控制律为

Lyapunov函数为

1.3.2 滑模控制

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）是一种非线性控制策略，由于其可根据系统当前的状态不断切换控制量，因此也称变结构控制。该控制方法可实现在有限时间内将系统状态驱动到滑动状态后沿着预先设定的滑模面运动到平衡点的目的，系统的性能完全由滑模面决定，与被控对象参数和扰动无关。滑模控制器的设计思想为：设计一个控制器，将从任意一点出发的状态轨线通过控制作用拉到滑模面上，然后沿着此滑模面滑动到原点。该运动过程分为两个阶段：

1）到达运动阶段。系统由状态空间任一点向滑模面趋近，目的是使系统尽快收敛到滑模面上。

2）滑模运动阶段。系统在状态空间里沿着滑模面上运动，此时控制的目的是保持在滑模面上。

为了使系统稳定并获得一定的动态性，通过设计滑模面和到达段的控制律，可以直接设计系统性能。在滑模控制的设计中，也主要分为两步：首先寻求合适的切换函数s（x），使系统的状态轨迹到达滑模面上时具有滑动模态和期望的动态特性；然后设计滑模控制律u（x），令系统能够在有限时间内到达滑模面，且一旦达到，就会沿着滑模面保持运动，满足到达性和跟踪性。

考虑二阶系统

式中，h和g为未知非线性函数，且对任意x有g（x）≥g0＞0。

若状态空间存在一个超平面，即所谓的滑模面s（x）=0，将状态空间分成s＞0和s＜0两部分，且s=0两侧的双轨线都引向s=0。

设计滑模面为

选择a1＞0以保证当t趋于无穷时，x（t）趋近于0。由于在滑模面上系统的运动受的控制，与h和g无关，因此收敛速度可通过a1的选择控制。此时的设计问题就是设计如下形式的控制律把轨线切换并保持在滑模面s=0上。

式中，。

下面针对二阶系统选取的滑模函数（1-14）进行控制器设计，变量s满足方程

假设对于某个已知函数ρ（x），h和g满足不等式

将作为方程的备选Lyapunov函数，有

取

式中，β（x）≥ρ（x）+β0，β0＞0，且

则

根据比较引理可知，轨线在有限时间内可到达滑模面s=0，且由上述不等式（1-21）可知，轨线一旦到达滑模面将不再离开。

由于滑动模态的设计，面对一定系统扰动或者变化，滑模控制具有较强的鲁棒性能和抗干扰能力。但是系统在滑模面上实际运动时，由于惯性、切换滞后等因素会导致系统的轨迹不可能完全保持在面上，而是在附近来回抖动，这种高频抖振现象的发生也是该控制方法的一大缺陷，带来误差大、能量消耗严重、对系统激起振荡等有害问题的产生，因此如何消除抖振也是滑模控制器设计的难点。

1.3.3 反馈线性化

考虑单输入系统

其中f和g在定义域D⊂ Rn上足够光滑，如果存在一个足够光滑的函数h:D →R，使得系统

在区域D0⊂ D上相对阶为n，则系统（1-22）是可反馈线性化的。

这一结论的解释如下：相对阶为n的系统，其标准型可简化为

因为

所以等式

在所讨论的定义域内对于所有x和u都成立。取u=0，则上式可分解为两个方程

方程（1-26a）等价于

方程（1-26b）等价于

令（hx）=T（1x），可以看出

h（x）满足偏微分方程

其约束条件为

α和γ由下式给出

总之，当且仅当存在函数h（x），使系统（1-23）的相对阶为n，或h满足约束条件为式（1-30）的偏微分方程（1-29），则系统（1-22）是可反馈线性化的。

1.3.4 三步法

三步法也是一种基于模型的设计方法，主要用于系统的跟踪控制问题，其设计思路来源于工程中常采用的控制结构（前馈加PID反馈控制），三步法的设计过程由三部分组成。出于不同的控制目的，分三步推导完成，同时其特定的设计过程使得推导简单明了，所得控制律结构层次清晰。以常用的二阶单输入单输出非线性仿射系统为例介绍其设计过程，考虑如下形式的非线性系统

式中，x1、x2、u分别为系统的状态和输入；y为系统的输出，y=x1。

假设f1（x1）、f2（x）、g1（x）和g2（x）是在定义域D⊂ R2内充分光滑的非线性函数，并且满足g（1x）≠0和g（2x）≠0。我们的目标是设计一个反馈控制律u，使得输出y渐近跟踪一个参考信号y*，其中对于非常值参考y*（t），其导数直到对于t≥0都是有界的，且二阶导是t的分段连续函数；信号y*、、可在线获得。