2.2　RC电路的暂态过程

分析电路的暂态过程就是根据激励（电压源电压或电流源电流），求电路的响应（电压和电流值）。用经典法分析电路的暂态过程，就是根据电路的基本定律列出以时间为自变量的微分方程，然后，利用已知的初始条件求解方程，得出电路的响应。如果电路的过渡过程可以用一阶微分方程来描述，则称为一阶电路；如果需用二阶微分方程来描述，则称为二阶电路。

本节用经典法讨论一阶RC电路的暂态过程。

2.2.1　RC电路的零输入响应

零输入响应是指换路后的电路中无电源激励，即输入信号为零时，仅由储能元件的初始储能产生的响应。

如图2.2所示电路，换路前，开关S合在2上，电容元件已充电，电路处于稳态。时将开关由2合到1，电路发生换路，于是电容元件开始放电。零输入响应是电容放电过程中电路的响应。

首先根据换路定则，求解电容上电压的初始值

电路的KVL方程为

因为

代入上式并整理，得

上式为一阶常系数线性齐次微分方程，令方程的通解为

式中，A是积分常数。将上式代入式（2.2）中，得到该微分方程的特征方程

其根为

于是，式（2.2）的通解为

代入初始条件，即

则电路中微分方程的解为

式（2.4）说明，电容上的电压随时间按指数规律变化，其波形图如图2.3（a）所示，即电容上的电压由初始值U按指数规律变化到新的稳态值0，变化的速度取决于RC。式中

称为RC电路的时间常数。当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，的单位是s（秒）。

的大小决定了过渡过程变换的快慢。越大，暂态过程变化得越慢，暂态过程越长；越小，暂态过程变化得越快，暂态过程越短。当电压一定时，C越大，储存的电荷越多；而R越大，放电电流越小，这都促使放电变慢。所以，改变R或C的数值，都可以改变时间常数的大小，即改变电容放电的速度。

当时，，可见，时间常数等于电容上的电压衰减到初始值的36.8%时所需的时间。理论上，当趋近于∞时，电路才达到新的稳定状态；而在实际中，通常经过之后，就可以认为过渡过程结束，电路已达到新的稳定状态了。

同样可求得图2.2所示电路中电阻上电压和电容上电流的变化规律，即

uR和iC的波形图如图2.3（b）所示。

2.2.2　RC电路的零状态响应

RC电路的零状态响应，是指电容元件在换路前未储有电能，即初始电压为零，换路后，电路接通电源，由电源激励所产生的电路的响应。

在图2.4所示电路中，换路前开关S断开，电容元件未充电，电路处于稳态。时将开关闭合，电路发生换路，电容元件开始充电。RC电路的零状态响应是电容由零初始储能状态开始的充电过程中电路的响应。

因为换路前电容未储能，所以电容上电压的初始值为

电路中的KVL方程为

因为

代入上式整理，得

上式是一阶常系数线性非齐次微分方程，它的通解由特解和补函数两部分构成，即

特解与输入U有相同的形式，也是的稳态值，因此

补函数是原方程对应的齐次微分方程的通解，与式（2.3）完全相同，即

因此，式（2.8）的通解为

式中，A是积分常数。代入初始条件

可得　

将A代入式（2.9），可得该微分方程的解为

由此可得，电容上的电压仍随时间按指数规律变化，变化的起点是初始值0，变化的终点是稳态值U，变化的速度取决于时间常数RC。电压的波形图如图2.5（a）所示。

暂态过程中电容元件的电压包含两个分量：一个是U，即电路到达稳态时的电压，称为稳态分量；另一个是仅存于暂态过程中的，称为暂态分量，其存在时间的长短取决于时间常数。经过一个时间常数（=RC）后，电容上的电压上升到了稳态分量的63.2%。

根据电容元件上电压、电流的关系和电路的基本定律，可得到电路中电容元件的电流和电阻元件两端的电压为

它们的波形图如图2.5（b）所示。

由RC电路的零输入和零状态响应的分析可见，当电路发生过渡过程时，不仅电容上的电压有过渡过程产生，电容中的电流及电阻上的电压等也都存在过渡过程，并且具有相同的时间常数和变化规律。这说明，电路中各物理量的过渡过程同时发生，也会同时结束。

2.2.3　RC电路的全响应

所谓全响应，是指换路后电源激励和电容元件的初始电压均不为零时的响应，是电容从一种储能状态转换到另一种储能状态的过程。

图2.6所示电路中，电容上电压的初始值为

换路后的微分方程与零状态响应的方程相同，即

其通解与式（2.9）相同，代入初始条件，得

在上式中，U是稳态分量，即t→∞时的解；是暂态分量。它存在于过渡过程中，当t→∞时，暂态分量等于零。

式（2.14）还可以写成

显然，上式中的是零输入响应，是零状态响应。于是可以得出

全响应=零输入响应+零状态响应

这是叠加原理在电路暂态分析中的体现。在求全响应时，可以把电容元件的初始状态看作电路中的激励，与电源分别单独作用，得到零输入响应和零状态响应的叠加，即为电路的全响应。

电容上的电压仍随时间按指数规律变化，变化的起点是初始值，变化的终点是稳态值U，变化速度仍取决于时间常数RC。

以上所分析的电路都是只含一个电源，一个电容的简单电路。分析复杂的RC电路的暂态过程时，可应用戴维南定理，将电容支路以外的部分电路进行戴维南等效变换，简化电路的结构后，再用经典法进行分析。

【思考与练习】

2-2-1　常用万用表的“”挡来检查电容器的质量。如果出现下列现象之一，试评估其质量之优劣并说明原因。

（1）表针不动；

（2）表针满偏转；

（3）表针偏转后慢慢返回原刻度处（∞）；

（4）表针偏转后不能返回原刻度处（∞）。

2-2-2　在RC串联的电路中，欲使过渡过程的速度不变，而又要使起始电流小些，你认为下列4种办法哪个正确？

（1）加大电容并减小电阻；

（2）加大电阻并减小电容；

（3）加大电容并加大电阻；

（4）减小电容并减小电阻。