2.2 振动信号
2.2.1 振动信号分类
由传感器获取的信号波形是指被测得信号的幅度随时间的变化历程。从信号描述上来看，可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号，不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号；从信号的幅值和能量上分为能量信号与功率信号；从连续性上分为连续时间信号与离散时间信号。
（1）确定性信号与非确定性信号
如图2-11所示，确定性信号可分为周期信号和非周期信号，周期信号也可分为简单周期信号和复杂周期信号，而非周期信号也可以分为准周期信号和瞬态信号；非确定性信号主要包括平稳随机信号和非平稳随机信号两种。
图2-11 信号的分类
①周期信号。经过一定时间可以重复出现的信号，如图2-12所示，数学式可表达为：x（t）=x（t+nT）。
图2-12 周期信号
②非周期信号。在信号中，没有重复出现的信号，从时间轴上监测不到信号的周期性变化，如图2-13所示。
图2-13 非周期信号
此类信号的分类中，存在一种称之为准周期信号的信号，此类信号是由多个周期信号合成，但各信号的频率却不成公倍数。如
，如图2-14所示。
图2-14 准周期信号
此类信号的分类中，还存在一种称之为瞬态信号的信号，此类信号是持续时间有限的信号，如x（t）=e-BtAsin（2πft），如图2-15所示。
图2-15 瞬态信号
③非确定性信号。不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。如噪声信号，如图2-16和图2-17所示。
图2-16 噪声信号（平稳）
图2-17 噪声信号（非平稳）
（2）能量信号与功率信号
①能量信号。在所分析的区间（-∞，+∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：
（2-5）
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
②功率信号。在所分析的区间（-∞，+∞），能量不是有限值。此时，研究信号的平均功率更为合适。
（2-6）
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
（3）时域有限与频域有限信号
①时域有限信号。在时间段（t1，t2）内有定义，其外恒等于零。如图2-18所示三角脉冲信号。
图2-18 三角脉冲信号
②频域有限信号。在频率区间（f1，f2）内有定义，其外恒等于零。如图2-19所示正弦波幅值谱。
图2-19 正弦波幅值谱
（4）连续时间信号与离散时间信号
①如图2-20所示为连续时间信号：在所有时间点上有定义。
图2-20 连续时间信号
②如图2-21所示为离散时间信号：在若干时间点上有定义。
图2-21 离散时间信号
2.2.2 信号分析与处理方法
信号分析与处理方法概述见表2-1。
表2-1 信号分析与处理方法概述
时域分析与频域分析示意图如图2-22所示。
图2-22 时域分析与频域分析图
信号频谱X（f）代表了信号在不同频率分量成分的大小，有时能够提供比时域信号波形更直观、丰富的信息。
2.2.2.1 时域分析
（1）时域分析运算
卷积积分：
（2-7）
式中，x（t）为输入信号；h（t）为系统响应信号；t为观察的时间，τ为激励产生的时刻；t-τ为经过多少次衰减能到达观察的时刻。
卷积和：
（2-8）
卷积运算满足交换率、分配率和结合率。两函数卷积的微积分等于两函数中一个函数微积分后的卷积。
x（t）*δ（t-t0）=x（t-t0） （2-9）
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。
如图2-23所示为受噪声干扰的多频率成分信号。
图2-23 受噪声干扰的多频率成分信号
（2）信号的波形变换
信号为x（t）[图2-24（a）]；用-t代替t，x（t）波形绕纵轴翻转180°[图2-24（b）]；用（t-t0）代替t，x（t）波形沿横轴右移t0[图2-24（c）]；用（at）代替t，x（t）波形以原点为中心，在宽度方向上变为原来的1/a[图2-24（d）]。
图2-24 信号的波形变换图
（3）信号的时域统计参数
①均值（反映直流分量）
（2-10）
式中 x（t）——信号的样本记录；
T——样本记录时间。
工程实际用估计值（采用直流电压表实现）：
（2-11）
②方差（反映交流分量）
（2-12）
反映了信号对均值的分散程度，其正平方根成为标准差。工程实际用估计值：
（2-13）
③均方值（反映信号的强度或平均功率）
（2-14）
其正平方根称为有效值，工程实际用估计值（采用均方电压表实现）：
（2-15）
（2-16）
④概率密度函数 表示信号瞬时值落在某指定区间内的概率，如图2-25所示。
图2-25 概率密度函数图
（2-17）
（2-18）
式中 Tx——样本函数瞬时值落在区间（x+Δx）的时间。
概率密度函数反映了随机信号幅值分布规律。用概率密度分析仪实现对随机信号的概率密度分析。其估计值为：
（2-19）
四种典型信号的概率密度函数图如图2-26所示。
图2-26 四种典型信号的概率密度函数图
（4）信号的相关分析
①变量相关的概念 变量相关是指变量间的线性关系。统计学中用相关系数来描述变量x、y之间的相关性，如图2-27所示，是两个随机变量之积的数学期望，表征了x、y之间的关联程度。
图2-27 变量间的相关性
（2-20）
式中 ρxy——随机度量x、y波动量之积的数学期望；
μx，μy——变量x和变量y的均值；
E——x和y的数学期望；
σx——x的均方差（标准差）；
σy——y的均方差（标准差）。
②波形相关的概念（相关函数） 如果所研究的变量x、y是与时间有关的函数，则如图2-28所示，即x（t）与y（t）。
图2-28 x（t）与y（t）
这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为相关函数，并有估计值：
（2-21）
相关函数反映了两个信号在时移中的相关性。当y（t）=x（t）时为自相关函数，其估计值为：
（2-22）
四种典型信号的自相关函数图如图2-29所示。
图2-29 四种典型信号的自相关函数图
③相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多的规律。
a. 自相关函数是τ的实偶函数，Rx（τ）=Rx（-τ）。
b. 当τ=0时，自相关函数具有最大值。
c. 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。
d. 随机噪声信号的自相关函数将随τ的增大快速衰减。
e. 两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原来信号的相位信息。
f. 两个非同频率的周期信号互不相关。
④功率谱密度函数 自相关函数的傅里叶变换称为自功率谱密度函数或自谱。互相关函数的FT称为互功率密度函数或互谱。
（2-23）
（2-24）
2.2.2.2 频域分析
（1）周期信号及其频谱
周期信号指经过一定时间可以重复出现的信号。
若信号x（t）在所有时间内均满足：
x（t）=x（t+nT）
式中，n为任意整数；T为正的常数。
则信号x（t）为周期信号，T为周期。系列周期值中的最大公约数为基本周期。
例如：sin（ωt）=sin（ωt+2πn）；sin（ωt）（基波）；sin（2ωt），sin（3ωt）……（谐波信号）。
周期信号的傅里叶级数的表达形式：
（2-25）
变形为：
（2-26）
式中，
式中 T——周期，T=2π/ω0；
ω0——基波圆频率；f0=ω0/2π。
周期信号可以表示成无穷个正弦及余弦函数之和，周期性矩形波的傅里叶级数表示：
（2-27）
如图2-30所示为周期性矩形波，图2-31为周期性矩形波的频谱。
图2-30 周期性矩形波
图2-31 周期性矩形波的频谱
周期信号频谱的特点是离散性、谐波性、收敛性。谱线间隔为ω0=2π/T0。
信号的能量主要集中在低频段，幅值为基波幅值2%以上的谐波分量周期矩形有25个，全波整流有6个，三角波有4个。
（2）非周期信号及其频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号，主要是指瞬变信号。非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信号。
周期信号是离散谱线，谱线间隔为2π/T0，当T0趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于零，因此非周期信号的谱线是连续谱线。
非周期信号的傅里叶变换：
（2-28）
（2-29）
（2-30）
式中，Cn为复数，是频谱；X（f）为复变函数，是频谱密度。
典型信号的时域与频域的关系如图2-32所示。
图2-32 典型信号的时域与频域的关系
2.2.2.3 功率谱分析
若自相关函数的傅里叶变换存在，则定义其傅里叶变换为自功率谱函数：
（2-31）
若互相关函数的傅里叶变换存在，则定义其傅里叶变换为互功率谱函数：
（2-32）
除了时域分析和频域分析外，还有基于拉普拉斯变换的复频域分析法。
2.2.2.4 采样定理
采样是将采样脉冲序列p（t）与信号x（t）相乘，取离散点x（nt）的值的过程。
为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。即：
fs>2fmax （2-33）
需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x（t）。工程实际中，采样频率通常大于信号中最高频率成分的3～5倍。
2.2.2.5 离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。
周期信号x（t）的傅里叶变换：
（2-34）
快速傅里叶变换（FFT）是离散傅里叶变换的一种有效的算法，通过选择和重新排列中间结果，减少运算量。
2.2.2.6 信号的截断、能量泄漏
用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断，如图2-33所示。
图2-33 信号截断过程
为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。
设有余弦信号x（t），用矩形窗函数ω（t）与其相乘，得到截断信号y（t）=x（t）ω（t），如图2-34所示。
图2-34 截断信号的获取方法示意图
值得注意的是，周期延拓信号与真实信号是不同的。这是因为有能量泄漏误差，如图2-35所示。
图2-35 周期延拓信号与真实信号对比图
克服方法之一：信号整周期截断，如图2-36所示。
图2-36 信号整周期截断
2.2.2.7 栅栏效应与窗函数
（1）栅栏效应
采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为fs。则计算得到的离散频率点为xs（fi），
；i=0，1，…，N/2。离散频率点图如图2-37所示。
图2-37 离散频率点图
（2）能量泄漏与栅栏效应的关系
频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。
实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。
能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的，谱窗形状如图2-38所示。
图2-38 谱窗形状
（3）常用的窗函数
通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差，常用窗函数如图2-39所示。
图2-39 常用窗函数
①矩形窗（图2-40）
图2-40 矩形窗
（2-35）
②三角窗（图2-41）
图2-41 三角窗
（2-36）
③汉宁窗（图2-42）
（2-37）
图2-42 汉宁窗
（4）矩形窗和汉宁窗（图2-43）
图2-43 矩形窗和汉宁窗
（2-38）