学习单元2.3 资金等值计算_水利工程经济-QQ阅读都市男生网

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学习单元2.3　资金等值计算

2.3.1　学习目标

(1)理解资金等值计算相关公式含义。

(2)掌握资金等值计算相关公式形式。

2.3.2　学习内容

资金等值计算相关公式。

2.3.3　任务实施

资金的基本计算公式中常用的几个符号先加以说明,以便讨论。

P——本金或资金的现值,指相对于基准年(点)的数值；

F——到期的本利和,是指从基准年(点)起至第n年年末的数值,一般称期值或终值；

A——等额年值,是指第1年至第n年的每年年末的一系列等额数值；

G——等差系列的相邻级差值；

i——折现率或利率,常以%计；

n——期数,通常以年数计。

2.3.3.1　一次收付期值公式

已知本金现值P,求n年后的期值F。

设年利率为i,则第1年年末的期值(或称本利和)为：F＝P(1＋i)；第2年年末的本利和为：F＝P(1＋i)×(1＋i)＝(1＋i)2；以此类推,可求出第n年年末的期值为

式中(1＋i)n——一次收付期值因子,或一次收付复利因子,常以符号[F/P,i,n]表示。

一次收付相当于银行的整存整取,见图2.2。

图2.2　一次收付期值

2.3.3.2　一次收付现值公式

已知n年后的期值F,反求现值P。由式(2.1),可得

式中　1/(1＋i)n——一次收付现值因子,或以[P/F,i,n]表示；

i——贴现率或折现率,其值一般与利率相同。

这种把期值折算为现值的方法,称为贴现法或折现法。

2.3.3.3　分期等付期值公式

已知一系列每年年末须储存等额年值A,求n年后的本利和(期值)F。这个问题相当于银行的零存整取。

由图2.3可知,第1年年末储存A,至第n年年末可得期值F1＝A(1＋i)n-1,第2年年末储存A,至第n年年末可得期值F2＝A(1＋i)n-2,…,第(n-1)年年末储存A,至第n年年末可得期值Fn-1＝A(1＋i),第n年年末储存A,则当时只能得Fn＝A,共计到第n年年末的总期值(本利和)F＝F1＋F2＋…＋Fn＝A(1＋i)n-1＋A(1＋i)n-2＋…＋A(1＋i)＋A,或者

图2.3　分期等付期值

上述两式相减,得F(1＋i)-F＝A(1＋i)n-A,移项后得

式中　——分期等付期值因子,或称等额系列复利因子,常以[F/A,i,n]表示。

2.3.3.4　基金存储公式

设已知n年后需更新机组设备费F,为此须在n年内每年年末预先存储一定的基金A。关于A值的求算,实际上就是式(2.3)的逆运算,即

式中　——基金存储因子,常以[A/F,i,n]表示。

2.3.3.5　本利摊还公式

设现在借入一笔资金P,年利率为i,要求在n年内每年年末等额摊还本息A,保证在n年后偿清全部本金和利息。

图2.4　本利摊还计算

由图2.4可知,第1年年末偿还本息A,相当于现值P1＝A/(1＋i),第2年年年末偿还本息A,相当于现值P2＝A/(1＋i)2,…,第n年年末偿还本息A,相当于现值Pn＝A/(1＋i)n,在n年内偿还的本息综合相当于现值P＝P1＋P2＋…＋Pn,即

上述两式相减,得

式(2.8)亦可由式(2.4)求得,因F＝P(1＋i)n,故

与式(2.8)相同,式中称为资金回收因子或本利摊还因子,常以[A/P,i,n]表示。

顺便指出,本利摊还因子为

式中的[A/F,i,n]就是每年须提存的基金存储因子,i就是利率。设已知本金现值为P,则每年还本P[A/F,i,n]和付息Pi,n年后共计还本付息F＝{P[A/F,i,n]＋Pi}[F/A,i,n]＝P(1＋i)n,这相当于n年后一次整付本利和F＝P(1＋i)n。

2.3.3.6　分期等付现值公式

设已知某工程投产后每年年末可获得收益A,经济寿命为n年,问在整个经济寿命期内总收益的现值P为多少?

本命题是已知分期等付年值A,求现值P,可以由式(2.8)进行逆运算求得,即

式中　——分期等不现值因子,或等额系列现值因子,常以[P/A,i,n]表示。

2.3.3.7　等差系列折算公式

设有一系列等差收入(或支出)0,G,2G,…,(n-1)G分别于第1,2,…,n年年末的期值F、在第1年年初的现值P以及相当于等额系列的年摊还值A。已知年利率为i。

(1)已知G,求F。

由图2.5可知,第n年年末的期值F可用式(2.11)计算。

(2)已知G,求P。

图2.5　等差系列计算

由式(2.2),P＝F/(1＋i)n,代入式(2.11),可得

式中[P/G,i,n]——等差系列现值因子。

(3)已知G,求A。

由式(2.6),,代入式(2.11),可得

式中[A/G,i,n]——等差系列年值因子。

2.3.3.8　等比级数增长系列折算公式

1.期值F的计算公式

设年递增的百分比为j%,当G1＝1,G2＝(1＋j),…,Gn-1＝(1＋j)n-2,Gn＝(1＋j)n-1。设年利率为i,则n年后的本利和,即期值

式中[F/G1,i,j,n]——等比级数期值因子。

2.现值P的计算公式

根据等比增长系列与等额收付系列的转换,将式(2.10)代入式(2.14),则

式中[P/G1,i,j,n]——等比级数年值因子。

也可以将式(2.3)代入式(2.14),即

2.3.3.9　等比级数减少系列折算公式

1.期值F的计算公式

设每年减少的百分比为j%,当a＝1,则G1＝(1＋j)n-1,G2＝(1＋j)n-2,…,Gn-1＝(1＋j),Gn＝1。设年利率为i,则n年后本利和(期值)为

2.现值P的计算公式

将F＝P(1＋i)n代入式(2.16),则

3.年均值A的计算公式

将式(2.10)代入式(2.17),则

2.3.3.10　一次收付连续计息期值公式

设资金P在dt的单位时间内的利率为i,则资金P在dt时间内的增值dP＝Pidt,当时间t从0到n后资金由P0增值为Pn,则

称为一次收付连续计息期值公式。

称为一次收付连续计息现值公式。

2.3.3.11　分期等付连续计息期值公式

设每年以A元连续均匀地投入资金P中进行扩大再生产,年收益率为i,则在时间dt内,期值为

式中　——分期等付连续计息期值因子,可用fc表示,则

称为分期等付连续计息期值公式。

或者

称为连续计息基金存储公式。

式中　——连续计息基金存储因子。

2.3.3.12　分期等付连续计息现值公式

设某企业每年净收益A元,获得后立即投入扩大再生产,年收益率为i,若按连续计息公式计算,现值为

式中　——分期等付连续计息现值因子,用fP表示。

式(2.24)可改写为

称为分期等付连续计息现值公式。

为了便于比较反映资金时间价值的各个计算公式,现将有关的折算因子汇总列于表2.2。

表2.2　考虑资金时间价值的折算因子表

续表

在上述各个基本计算公式中,有现值P、期值(终值)F、年值A、利率i及经济寿命n(年)等参变数。

2.3.4　案例分析

【例2.1】　已知本金现值P＝100元,年利率i＝12%,求10年后的本利和F为多少?

解：根据式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.12)10＝100×3.1058＝310.58(元)。如果年利率i＝12%不变,但要求每月计息一次,则10年共有120个计息月数,即n＝120,相应的月利率i＝0.12/12＝1%。根据式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.01)120＝100×3.3003＝330.03(元)。

【例2.2】　已知10年后某工程可获得年效益F＝100万元,i＝10%,问相当于现在的价值(现值)P为多少?

解：由式(2.2),P＝F[P/F,i,n]＝F[1/(1＋i)n]＝100×[1/(1＋0.1)10]＝38.554(万元)。

【例2.3】　设每年年末存款100元,年利率i＝10%,第10年年末的本利和(期值)F为多少?

解：根据A＝100元,i＝10%,n＝10年,查附录或由式(2.3)计算的：