2.1 离散时间信号-序列
2.1.1 序列
离散时间信号又称作序列（Sequence）。在物理上是指定义在离散时间上的信号取样值的集合，在数学上可用时间序列 {x（n）}来表示。x（n）代表序列的第n个样点的取值，n代表时间的序号且为整数（－∞＜n＜∞），非整数点无定义或无意义。
对于抽样信号可以表示为{xa（nT）}，T为抽样间隔时间。一般来讲，抽样时间间隔T固定，则抽样值表现为时间间隔序号的序列。所以也通常将T 去掉，而用 {x（n）}来表示。
2.1.2 序列的时域表示
1.枚举表示
枚举表示指把序列的全部取值一一列出在序列的集合中，并标注时间零点位置。如
其中箭头处表示对应n=0 时刻的抽样值，即x（0）=3.45，则x（－1）=－6.7，x（－2）=－1.2，…；x（1）=0.7，x（2）=8，x（3）=5.3，…
2.公式表示
公式表示是指把序列的第n个取值x（n）用通用的函数公式表示。例如
其中n取整数。x（n）的全部用集合{x（n）}或用x（n）表示。
3.图形表示
图形表示是指把序列的取值与离散时间变量n之间的关系用图形表示出来。例如序列
，用图形表示则如图2-1 所示。
图 2-1 序列的图形表示
对于式（2.1）表示的序列，当ω=8π时，则对应为x（n）=sin8πn，0≤n≤100，图形表示如图2-2 所示。
图 2-2 序列x（n）= sin8πn，-∞ ＜n＜ ∞ 的图形
对于式（2.2）表示的序列，当a=2，b=3 时，则对应为
，图形表示如图2-3 所示。
图 2-3 序列
的图形
2.1.3 序列的运算
序列的运算是序列的基本操作。通过序列的运算，可以产生新的序列。
1.序列的加、减运算
序列的加、减运算指将两序列x1（n）和x2（n）序号n相同的数值相加或相减，得到新序列，表示为
其中的操作符号“±”是当进行相加运算时取“+”，相减运算时取“－”。其中y（n）值为当n取相同值时的x1（n）和x2（n）值的加或减运算结果值。
【例21】已知两个序列x（n）、y（n）如图24（a）、（b）所示，求z（n）=x（n）+y（n）。
图 2-4 序列的相加运算
解：根据序列加法的定义，得
用MATLAB实现该过程的程序如下：
n=－4：4；
x=[－3 －3 －2 －10123 3]；
y=[221.510 －1 －1.5 －2 －2]；
z=x+y；%序列相加subplot（311）；stem（n，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；grid on；
subplot（312）；stem（n，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；grid on；
subplot（313）；stem（n，z）；ylabel（ˈz（n）ˈ）；xlabel（ˈ（c）ˈ）；grid on；
得到序列z（n）如图2-4（c）所示。
2.序列的乘积运算
序列的乘积指将两序列x1（n）和x2（n）序号相同的数值相乘积，表示为
其中“·”表示乘积运算。
【例2-2】已知两个序列x（n）、y（n）如图2-5（a）、（b），求z（n）=x（n）·y（n）。
图 2-5 序列的乘积运算
解：根据序列乘积的定义，得
用MATLAB实现该运算的程序如下：
n=－4：4；
x=[－3 －3 －2 －10123 3]；
y=[221.510 －1 －1.5 －2 －2]；
z=x.∗y；%序列相乘
subplot（311）；stem（n，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；grid on；
subplot（312）；stem（n，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；grid on；
subplot（313）；stem（n，z）；ylabel（ˈz（n）ˈ）；xlabel（ˈ（c）ˈ）；grid on；
得到序列z（n）如图2-5（c）所示。
3.序列的时延
序列的时延是将序列的全体在时间轴上进行向右移。可以表示为
其中n0＞0 表示延时数。
【例2-3】已知序列x（n）如图2-6（a），求序列y（n）=x（n－2）。
图 2-6 序列的时延
解：根据序列乘积的定义，采用MATLAB实现该运算的程序如下：
x=[3，11，7，0，－1，4，2]；
nx=[－3：3]；
[y，ny]=sigshift（x，nx，－2）；%调用移位函数实现延时subplot（211）；stem（nx，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；grid on；
subplot（212）；stem（ny，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；grid on；
其中移位函数 sigshift为
function[y，ny]=sigshift（x，nx，n0）
ny=nx+n0；
y=x；
得到序列y（n）如图2-6（b）所示。
4.序列乘常数
序列乘常数可以表示为
即将原序列的幅度放大k倍后产生新序列。
5.序列反褶
序列反褶是指将序列以n=0 为对称轴进行对褶，序列反褶表示为
【例2-4】已知序列x（n）如图2-7（a）所示，求序列y（n）=x（－n）。
图 2-7 序列的反褶
解：采用MATLAB提供的左右反褶的函数fliplr来完成该题，MATLAB程序如下：
x=[3，11，7，0，－1，4，2]；
y=fliplr（x）；%调用函数fliplr
subplot（211）；stem（nx，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；grid on；
subplot（212）；stem（ny，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；grid on；
得到序列y（n）如图2-7（b）所示。
6.序列的差分运算
序列的差分运算是指同一序列相邻的两个样点之差，分前向差分和后向差分
7.序列的抽取与插值（尺度变换）
抽取：将原来序列每M个抽取一个点组成新序列。公式为y（n）=x（nM）。
插值：将原来的序列每个序列点之间插入L个样点，形成新序列y（n）=x（n/L）。
例如，M=2，x（2n）相当于两个点取一点；以此类推。
例如，L=2，x（n/2）相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用L 倍表示，即插入（L－1）个值。
8.序列的移位
序列的位移可表示为
当m为正时，x（n+m）表示将x（n）依次向左移m位；当m为负数时，x（n+m）表示将x（n）向右移－m位（相当于时延－m位）。例如，已知
则求x（n+1）就是将原序列x（n）左移一位，所以有
比较可知，x（n+1）是将x（n）左移了一位。
注意：当m为正数时，x（－n+m）表示将序列x（－n）向右移位m位（相当于时延m位）；当m为负数时，x（－n+m）表示将x（－n）向左移－m位。例如：已知
比较可知：x（1－n）是将x（－n）右移了一位。
9.累加
设某一序列为x（n），则x（n）的累加序列y（n）定义为
即表示n以前的所有x（n）的和。
10.卷积和（序列卷积）
（1）设序列x（n），h（n），它们的卷积和y（n）定义为
（2）卷积和的性质
①交换律
②结合律
③对加法的分配律
（3）卷积和计算
根据式（2.11）可见，计算卷积和运算的每一个值y（n），可采用以下四步来完成。
A.序列翻褶：用m代替n作为时间变量，求翻褶序列h（m）⇒h（－m）。
B.序列移位：固定一个移位n值，求移位序列h（－m）⇒h（n－m）。
C.序列相乘：计算两个序列x（m）和h（n－m）的乘积序列，即⇒x（m）·h（n－m）。
D.序列累加：
。
改变n值，重复以上四步，就可以依次计算出卷积和序列y（n）的各个值。
【例2-5】已知
如图2-8 所示，求
。
图 2-8 已知序列
解：方法一（分步）
首先将离散时间变量n用m代替。
（1）序列翻褶。以m=0 为对称轴，翻褶h（m）得到h（－m），即得n=0 时h（－m）的移位序列h（0－m）=h（－m），对应序号相乘，相加得y（0），如图2-9（a）所示；
（2）h（－m）右移一个单元，即得n=1 时h（－m）的移位序列h（1－m），对应序号相乘，相加得y（1），如图2-9（b）所示；
（3）重复步骤（2），得y（2），y（3），y（4），y（5）。卷积和过程如图2-9 所示。
图 2-9 卷积和过程
卷积和计算结果如图2-10 所示。
图 2-10 卷积和计算结果
方法二（分段）
（1）当n＜1 时，x（m）与h（n－m）无相交，相乘处处为0，即：y（n）=0，n＜ 1。
（2）当 1 ≤n≤3 时，x（m）与h（n－m）有相交项，从m=1 到m=n，即
（3）当3 ≤n≤ 5 时，x（m）与h（n－m）有相交项，从m=n－2 到m=3，即
（4）当n＞ 5 时，x（m）与h（n－m）无相交项，即：y（n）=0，n＞ 5。
方法三，用MATLAB实现
MATLAB实现的程序如下：
nx=0：3；%x序列时间范围
x=nx/2；
nh=[0，1，2]；%h序列时间范围
h=[111]；
subplot（3，1，1）；stem（nx，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；
grid on；
subplot（3，1，2）；stem（nh，h）；ylabel（ˈh（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；
grid on；
nyb=nx（1）+nh（1）；%卷积序列的起始位置
nye=nx（length（x））+nh（length（h））；%卷积序列的结束位置
ny=[nyb：nye]；%卷积序列的范围
y=conv（x，h）；%求卷积
subplot（3，1，3）；stem（ny，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（c）ˈ）；
grid on；
输出如图2-11 所示。
图 2-11 MATLAB程序计算卷积
定理：若两个序列都是有限长的序列，即：{x（n），n=N1，…，N2}，长度为N；{h（n），n=M1，…，M2}，长度为M，那么它们的卷积输出序列y（n）=x（n）∗h（n）为：{y（n），n=N 1 +M1，…，N 2 +M2}，且卷积序列的长度为：L=M+N－1。
11.序列线性相关
（1）线性相关定义
设序列x（n）和y（n），它们的线性相关（互相关）序列定义如下。
①x（n）和y（n）的线性互相关
②y（n）和x（n）的线性互相关
其中m代表两个序列的相对位移。
（2）线性相关序列特点
①不满足交换律
②自相关
若y（n）=x（n），则称x（n）的（线性）自相关，即
当n=0 时，有
称为信号的能量。
③线性相关与卷积的关系
（3）线性互相关的计算
计算步骤包括：移位、相乘、相加。
【例2-6】已知
，计算x与y 的线性互相关rxy、y 与x的线性互相关ryx。
解：
MATLAB程序如下：
nx=1：5；%x序列时间范围
x=1：5；
ny=[1，2，3]；%y序列时间范围
y=[786]；
subplot（4，1，1）；stem（nx，x）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（a）ˈ）；
grid on；
subplot（4，1，2）；stem（ny，y）；ylabel（ˈy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（b）ˈ）；
grid on；
nrl=2∗max（length（x），length（y））－1；%相关序列的长度
nr=[－（nrl－1）/2：（nrl－1）/2]；%相关序列时间的范围
rxy=xcorr（x，y）；%x与y相关
ryx=xcorr（y，x）；%y与 x相关
subplot（4，1，3）；stem（nr，rxy）；ylabel（ˈrxy（n）ˈ）；xlabel（ˈ（c）ˈ）；
grid on；
subplot（4，1，4）；stem（nr，ryx）；ylabel（ˈryx（n）ˈ）；xlabel（ˈ（d）ˈ）；
grid on；
输出如图2-12 所示。
图 2-12 MATLAB程序计算相关
2.1.4 常用序列
1.单位取样序列
单位取样序列表示为
如图2-13（a）所示。
（1）单位取样序列的移位序列
，当n0=2时图形如图2-13（b）所示。
图 2-13 单位取样序列及其移位序列
（2）x（n）δ（n）=x（0），x（n）δ（n－n0）=x（n0）。
2.单位阶跃序列u（n）
单位阶跃序列表示为
其图形如图2-14 所示。
图 2-14 单位阶跃序列
则
（1）δ（n）=u（n）－u（n－1）。
3.矩形序列
矩形序列表示为
在 [0，N－1]区间的N 个值为1，其他整数点为0；RN（n）=u（n）－u（n－N），其波形如图2-15（c）所示。
图 2-15 序列δ（n），u（n），RN（n）的波形
4.实指数序列
实指数序列表示为
【例2-7】求x（n）=0.9n，n=0∶50。
解：用运算符“.^”来实现指数运算。
MATLAB程序如下：
n=0∶1∶50；%取序列显示范围
x=（0.9）.^n；%指数运算
plot（n，x）；
stem（n，x）；
输出如图2-16 所示。
图 2-16 例 2-7的输出序列
5.复指数序列和正弦序列
复指数序列表示为
根据欧拉公式（Euler）ejθ=cosθ+j sinθ展开得到
则复指数序列可以分解为两个序列组成，其中实部序列：y（n）=eσ n cos（ωn），虚部序列：z（n）=eσ n sin（ωn）。
一般表达式如下
和
分别为正弦序列和余弦序列。
其中：A为幅度，ϕ为初相，单位为弧度（rad）；ω为数字域频率，单位为弧度（rad）。
数字信号可以通过对模拟信号取样得到。设模拟信号为
其中取样周期为T，其中：Ω=2πf 为模拟域频率，单位为rad/s；则取样后信号为
与式（2.24）比较，得到
注意：
（1）ej ω n=ej（ω+2πm）n，cos（ωn）=cos（（ω+2πm）n）；但 ej Ω t ≠ ej（Ω+2πm）t，cos（Ω t）=cos[（Ω+2πm）t]；即正弦序列和复指数序列对ω变化以 2π为周期。在数字域考虑问题时，取数字频率的主值区间：[－π，π]或[0，2π]。[－π，π]用于离散时间信号和系统的傅里叶变换（Fourier Transform，FT）；[0，2π]用于离散傅里叶变换。
（2）当ω=0 时，cos（ωn）变化最慢（不变化）；当ω=π时，cos（ωn）变化最快。故在DSP中，在主值区间上，将ω=0附近称为数字低频；而将ω=π附近称为数字高频。这一特点与模拟正弦信号 x a（t）=cos（Ωt）截然不同，模拟正弦信号中Ω越大，f 越大，cos（Ωt）变化越快。其原因是t连续取值，而n只取整数。
2.1.5 序列的周期性
对于序列x（n），如果存在一个最小的正整数N，对所有的n都满足
则称序列x（n）为周期序列，且周期为N。周期序列可以记为
。
对于σ=0 的复指数序列和正弦序列，有
（1）当
= 整数时，序列为周期性的，且周期为
，如
（2）当
= 有理数时，序列为周期性的，且周期大于
，如
-N=14；
（3）当
=无理数时，序列为非周期性的，如
【例2-8】判断以下序列是否为周期序列。若是周期序列，求其周期。
解：
（1）假设序列周期为N。
周期存在即要下式成立
式（2.30）成立则
，所以要求：N/8=2πk，k=0，± 1，±2，…，从而得到N=1 6πk，k=0，± 1，…。由于k 为整数，所以不存在最小正整数 N 能使式（2.30）成立。故序列不是周期序列。
（2）假设周期为N，则
周期存在则要求满足
要该式成立，则要求满足
也即要满足
，取 140 和 220 的最小公倍数 1540 得到：N=154077 =20，其中k1 =11，k2 =7。序列x（n）的周期为20。
MATLAB实现的程序如下：
n=1：80；
pi=3.1415926；
x=cos（11∗pi/10.∗n－pi/2）+2∗sin（7∗p.i ∗n）；
stem（x）；xlabel（ˈnˈ）；ylabel（ˈx（n）ˈ）；grid on；
输出序列x（n）如图2-17 所示。从图可见序列周期的确为20。
图 2-17 周期序列
2.1.6 用单位取样序列表示任意序列
任意序列x（n）都可用单位取样序列δ（n）表示成加权和的形式，即
证明：
因为
所以
由于任意序列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和，因此，讨论系统的特性时只需讨论系统在单位取样序列作用下的响应即可。
【例2-9】将序列
表示成单位取样序列的加权和形式。
解：
【例2-10】已知序列
，写出其单位取样序列的加权和形式。
解：
2.1.7 序列的能量与功率
序列能量定义
当E ＜∞ 时，称x（n）为能量有限信号。若序列的长度为有限长，只要信号的值x（n）是有限值，信号的能量总是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使x（n）有界，信号的能量也不一定有限。
对于非周期序列x（n），若序列为无限长，其平均功率为
当信号能量为有限时，称为能量信号。当信号平均功率为有限值时，称信号为功率信号。