习题一

A组

1.选择题（将正确的答案填在每一题后的括号内）：

（1）下列哪个点是第五卦限的（　）

A.（1，2，5）　　B.（1，2，-5）　　C.（-1，-2，5）　　D.（1，-2，5）

（2）设空间一点的坐标为（x0，y0，z0），则下列哪个点是其关于xOz平面的对称点（　）

A.（-x0，y0，z0）　　B.（x0，-y0，z0）　　C.（-x0，-y0，z0）　　D.（-x0，-y0，-z0）

（3）到两定点的距离比为1：1的动点轨迹是（　）

A.球面　　B.圆周　　C.平面　　D.抛物线

（4）到两定点的距离比为2：1的动点轨迹是（　）

A.球面　　B.圆周　　C.平面　　D.抛物线

（5）到一定直线距离一常数的动点轨迹是（　）

A.球面　　B.圆周　　C.平面　　D.柱面

（6）设平面方程为Bx+Cz+D=0，且BCD≠0，则该平面（　）

A.平行于x轴　　B.平行于y轴　　C.经过y轴　　D.平行于z轴

（7）与z轴不相交的平面为（　）

A.x+y+z=1　　B.x+2y=1　　C.x-y-z=0　　D.3x-2y+z=1

（8）下列哪个平面的法向量与（6，-4，2）平行（　）

A.x+y+z=1　　B.x+2y=1　　C.x-y+z=0　　D.3x-2y+z=1

（9）过点M（1，2，-1）且与直线垂直的平面方程是（　）

A.-（x-1）+3（y-2）+（z+1）=1　　B.-x+3y+z=4

C.-（x+2）+3（y-4）+（z-1）=0　　D.x-3y-z=4

（10）下列两空间直线的关系为（　）

A.重合　　B.平行不重合　　C.异面　　D.仅一个交点因而共面

2.已知空间中一点A的坐标为（x0，y0，z0），求与点A的距离等于r的点的轨迹方程，并判断与点A的距离等于r的点的几何形状.

3.已知空间中两点的坐标为A（1，0，-1）、B（0，1，0）.求到A点的距离与到B点的距离之比等于∶1的点的轨迹方程.

4.不借助于笔纸以及相应的图形或物体，只在头脑里形成如下图形：

（1）已知一个圆和圆外一点.从这点作圆的一条切线和一条割线.从该点到切点的切线长，与割线靠近该点的圆外部分线段长，哪条长些？

（2）已知一个正方形.连接每相邻两边的中点，得到一个什么图形？这个图形的面积占已知正方形面积的多少？

5.不借助于笔纸以及相应的图形或物体，只在头脑里形成如下图形：

（1）一个直角三角形绕着它的一直角边旋转所得的旋转体是什么？绕着与它的一直角平行且有一定距离的直线边旋转所得的旋转体是什么？

（2）用水平（垂直于人体站立方向）的平行平面射线对人体进行扫描，肝的系列截面是什么形状？

6.画出下列平面：

（1）x=1；（2）y=2；（3）x=y；（4）y+z=1；（5）x+y+z=1.

7.写出下列平面的方程：

（1）平行于xOy面且在其上方距其3个单位的平面；

（2）平行于xOz面且在其左方距其4个单位的平面；

（3）垂直于y轴过点（2，-2，1）的平面；

（4）过x轴和点（0，2，3）的平面.

8.写出下列直线的方程：

（1）y轴；　（2）平行于x轴过点（0，2，3）的直线.

9.求满足下列条件的平面方程：

（1）过点（1，0，3）与向量（2，-2，5）垂直的平面；

（2）过三点（1，1，1），（1，-1，-1）和（2，1，-1）的平面；

（3）过x轴且平行于向量（1，-2，-1）的平面.

10.求满足下列条件的直线方程：

（1）过点（-3，2，1）且与平面2x-2y+5z=17垂直的直线；

（2）平行于直线且过点（5，6，0）的直线.

11.求下列平面与平面、直线与平面、直线与直线之间的夹角：

（1）平面x+y-z=8与平面2x+3y-z=4；

（2）与平面x+y+z+1=0；

12.求点（1，2，1）到平面2x+y+z-6=0的距离.

13.在x轴上求出与两平面12x+9y+20z=19和16x-12y+15z=9等距离的点.

14.试确定下列直线和平面间的关系，在不平行的情况下求出其交点：

15.选择题（将正确的答案填在每一题后的括号内）：

（1）在空间中，下列哪个方程表示球面.（　）

（2）在空间中，下列哪个方程表示抛物面（　）

（3）在空间中，下列哪个方程表示柱面（　）

（4）在空间中，下列哪个方程表示旋转曲面.（　）

16.判断正误题（将答案“对”或“错”填在每一题后的括号内）：

（1）曲面与曲面x2+y2+z2=1围成一封闭区域（　）

（2）平面以及曲面x2+y2+z2=1分空间为三部分（　）

（3）关于xOy面的投影柱面方程为x2+y2=a2（　）

（4）在yOz面的投影曲线方程为（　）

（5）在xOz面的投影曲线方程为（　）

B组

1.求满足下列条件的平面方程：

（1）过点（1，1，1）且与向量（0，1，2）和向量（1，2，-1）平行的平面；

（2）平行于z轴且过点（1，2，-1）和（-3，1，-2）的平面.

2.求满足下列条件的直线方程：

（1）求过点（3，1，-2）且平行于直线的直线；

（2）过点（0，2，4）且与两平面x+3z-1=0和2x+y+z-6=0都平行的直线.

3.平面束方程：设直线C由方程组

确定，其中系数A1，B1，C1，D1与A2，B2，C2，D2不成比例.设λ为任意常数，则三元一次方程

A1x+B1y+C1z+D1+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0

表示过直线C的平面的全体，称为过直线C的平面束方程.利用平面束方程可以解决如下问题：

（1）经过点（1，0，1）且过直线的平面；

（2）求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.

4.解答下列各题：

（1）经过点（1，0，1）且垂直于直线的平面；

（2）给出至少两种方法求经过点（1，0，1）且与直线垂直相交的直线.

5.画下列平面围成的立体：

（1）x=0，x=1，y=0，y=2，z=0，x+y+z=3；

（2）x=0，x+y=1，y=0，z=0，z=3；

（3）y=0，x+y+z=1，z=0，y+z-x=1；

6.画出下列曲面围成的立体：

（1）z=2x2+y2和z=4；

（2）（x-1）2+y2=1和z=0与x+y+z=4；

（4）y=x2，y=2，z=0，z=2.

7.分别求母线平行于x轴及y轴且通过曲线的柱面方程.

8.求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上投影的方程.

9.将xOz面上的曲线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

10.将xOy面上的曲线4x2-9y2=36分别绕x轴、y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

11.下列方程表示什么曲面，绘制出其图形：

（1）（x-1）2+（y-2）2+（z-1）2=4；　（2）z=2x2+y2；

（5）x2+2y2=1；（6）z2-y2=1.

12.下面方程各表示什么曲线：

13.利用数学软件做出下列曲面的图形（a，b，a1，a2，b1，b2为常数，自定）：

14.作出下列由参数方程所确定曲线的图形：

15.作出下列由极坐标方程确定曲线的图形：

（1）对数螺线：（2）双曲螺线：rt=1，t∈[0.1，3π].

16.作出下列由极坐标方程确定曲线图形：