（二）分数方程

16．财主买虎皮

从前，有父、子两个财主进城买虎皮，两个人看好了同一张虎皮，都掏出钱要买。卖主看看两个财主的钱后，摇头说：“这张虎皮价值180吊，你们俩谁也买不成，我有个办法，把父亲的钱的给儿子，儿子可以买成；把儿子钱的给父亲，父亲也可以买成。”父、子俩都摇摇头不肯。问两个财主各带了多少钱？

解析：

设儿子带的钱数为x吊，根据把父亲的钱的给儿子，儿子可以买成，知父亲带钱数为吊；根据把儿子钱的给父亲，父亲也可以买成，得：

解得儿子带钱数：（吊）

父亲带的钱数：（吊）

答：儿子带了120吊钱，父亲带了90吊钱。

17．宝物数量

某人从宝库取走了宝物的，另一人又从剩下的宝物中取走了，宝库中还剩下宝物160件，求原本宝物有几件？（选自《莱因德纸草书》）

解析：设原本宝物有x件，则

x=255（件）

18．献神莲花

有莲花若干朵，以其，，，分献四神，还剩六朵。问原来有莲花多少朵？（选自《计算法纲要》）

解析：设原来有莲花x朵，则献四神的花分别有，，，朵。

19．行经三城

古时，一人经商回家，行经三城。甲、乙、丙三城征税金额均为其所带的钱的一半又。若此人到家仅剩11元，求他原来带多少钱？

解析：设所带的钱为x，则甲城征税，乙城征税（x-，丙城征税。

所以

（元）

20．两支蜡烛

房间里电灯突然不亮了，小明点燃了书桌里备用的两支蜡烛，在蜡烛光下继续做他的事，直到电灯修好。

第二天，小明需要确定昨晚断电的时间。他当时没有注意断电开始的时刻，也没有注意是什么时候来的电，也不知道蜡烛的原始长度。小明只记得两支蜡烛长短一样，但粗细不同，其中粗的一支5小时燃烧完，细的一支4个小时燃烧完。两支蜡烛都是经小明点燃的新蜡烛，但小明没找到蜡烛的剩余部分。他只知道一支残烛的长度等于另一支残烛的四倍。

小明无法知道得更多了，只能根据上述有限的资料计算蜡烛的点燃时间。

请你也算一算。

解析：解答这个问题，需要列一个简单的方程式。用x表示点燃蜡烛的小时数。每一小时烧掉粗蜡烛长度的，细蜡烛长度的。因此，粗蜡烛残余部分的长度应是，细蜡烛残余部分的长度应是。我们知道两支蜡烛开始时长度相等，并知细蜡烛残余长度的四倍等于粗蜡烛残余长度的：

答：两支蜡烛各点燃了3小时45分钟。

21．船上打牌

在乘船外出旅行时，小张想玩扑克牌，便约了D男爵和C伯爵。

第一局，小张输给了D男爵和C伯爵，他们两个人的钱数都翻了一番。

第二局，小张与D男爵赢了，他们两个人手中的钱都翻了倍。最后，C伯爵同小张蠃了第三局，又使钱翻了一倍。

游戏结束后，每人都赢了两局而输掉一局，最后三人手中的钱数完全相等。

最终小张发现自己输掉了100美元，非常懊恼。试问：在游戏开始时，小张有多少钱？

解析：用倒推法很容易解出本题。

赢了后的钱数较前一局的钱数翻了一番。前一局的钱数是其钱数的一半，从而，可计算另一个人的钱数。

设第三局结束时三人手中的钱为x美元，我们使用表格进行倒推。

x=160

游戏开始时，小张的钱数：×160=260（美元）

D男爵的钱数：×160=80（美元）

C伯爵的钱数：×160=140（美元）

22．卖鸡蛋

王老太太到集市上去卖鸡蛋，第一个人买走篮子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还剩一个鸡蛋，请问王老太共卖出多少个鸡蛋？

解析：设鸡蛋总数为x，第一个人买走个，第二个人买走[x-个。

x=10

王老太太卖出鸡蛋：10-1=9（个）

23．五个报童

五个聪明的报童合伙卖报，他们按照下面的方式卖掉了他们的报纸。汤姆·史密斯卖掉了总数的再加上1张报纸，比利·琼斯卖掉的报纸数是余下的再加上1张，内德·史密斯又卖掉余下报纸的再加1张，查利·琼斯再卖掉余下的再加1张。现在，史密斯家的孩子们比琼斯家的孩子们要多卖出100张报纸，最后，最年轻的成员小吉米·琼斯把所有剩下的报纸都卖光了。

琼斯家3个孩子卖出的报纸要比史密斯家2个孩子卖出的报纸多。现在的问题是两家的孩子各卖了多少张报纸。

解析：设原来的报纸数为x张，则：

汤姆·史密斯卖报纸：（张）

比利·琼斯卖报纸：（张）

内德·史密斯卖报纸：（张）

查利·琼斯卖报纸：（张）

x=1020

史密斯家2个孩子卖出的报纸：（张）

琼斯家3个孩子卖出的报纸：1020-400=620（张）

24．黑蛇进洞

一条长80安古拉（古代印度长度单位）的大蛇用每天爬安古拉的速度爬进一个洞，而蛇尾每天却要长安古拉。请问黑蛇需要几天才能完全爬进洞？

解析：这是来自公元9世纪印度数学家摩坷毗罗的趣题。

在数学的发展史上，希腊数学的后续者是印度人。虽然印度的数学只是在受到希腊数学成就的影响后，才形成了颇为可观的景象，但是，印度早期具有本地特色的数学非常值得一提。

首先，早期印度数学家们给出了1到9的记号，出色之处在于每个数字都有单独的记号，这里没有0，那个时候，印度的数学家们还没有发现这样标记数字的好处。公元200～1200年，是印度数学发展的第二阶段。他们为了研究天文与占星术而研究数学，那时没有专门的数学书，数学材料是混在天文与占星术资料的篇章里讲述的。值得提的是，在这个时期里，印度人把0看成一个完全的数，一个数乘0得0，减0并不使一个数变小，一个数除以0后不变。在谈到分母为0的分数时，婆什迦罗说不管加减多少，这个分数是不变的。

其次，印度人引用负数表示欠债，正数表示财产。公元628年婆罗摩笈使用了负数，并提出了负数的四种运算，但他没有给出定义、公理或是定理。印度人并不是毫无保留地接受负数，当给出一个问题的两个解10与-3时，他们会说，这里不要第二个值，因为它不行。人们虽然不赞成负数，但负数还是被人们逐渐接受。

再次，印度人在算术上的另一重大发展是正视了无理数的问题，他们开始按正确的方式来运算无理数，这种做法虽然没有给出证明，但这种正视可以获得一些有用的结论，例如，无理数相加的法则。在代数、几何及三角形方面，印度人也做出了贡献，但他们不注重演绎结构，他们有好多好的计算方法，但都没考虑过如何证明它，而且在数学领域也没有得出过一般方法或是提出新的观点。

设黑蛇爬x天，才完全进入洞中。按已知条件可知：黑蛇每天爬：

（安古拉）

它的尾巴每天要长：（安古拉）

列方程：21x=80+11x

x=8

25．波斯国王的难题

古代波斯有个国王认为自己是世界上最聪明的人。有一天，国王出了一张告示，宣布半个月以后他要在皇宫里出一道难题，谁要能准确地回答出来，就重重地奖赏他。

那一天，皇宫里聚集了文武百官，还有许多老百姓，十分热闹。国王命令侍从取来三只大金碗，他向皇宫里的人们扫了一眼，然后说出了他的难题。

三只金碗里放着数目不同的珍珠，我把第一只金碗里的一半珍珠给我的大儿子；第二只金碗里的三分之一珍珠给我的二儿子；第三只金碗里的四分之一给我的小儿子。然后，再把第一只金碗里的4颗珍珠给我的大女儿，第二只金碗里的6颗珍珠给我的二女儿，第三只金碗里的2颗珍珠给我的小女儿，这样分完之后，第一只金碗里还剩下38颗珍珠，第二只金碗里还剩下12颗珍珠；第三只金碗里还剩下19颗珍珠。你们谁能回答，这三只金碗里原来各有多少颗珍珠？

解析：设x为第一只金碗里的珍珠数，根据“我把第一只金碗里的一半珍珠给我的大儿子……再把第一只金碗里的4颗珍珠给我的大女儿……这样分完之后，第一只金碗里还剩下38颗珍珠”可列方程：

解得：x=84

同理，设y为第二只金碗里的珍珠数：

解得：y=27

设z为第三只金碗里的珍珠数：

解得：z=28