第二章　代　数

第一节　整　式

一、问题求解：下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。

1．若实数a，b，c，满足则abc为（　　）。[2011年真题]

A．－4

B．

C．

D．

E．3

【答案】A

【解析】由题意可知整式中的三项都为0，即因此abc=－4。

2．多项式x³＋ax²＋bx－6的两个因式是x－1和x－2，则其第三个一次因式为（　　）。[2010年真题]

A．x－6

B．x－3

C．x＋1

D．x＋2

E．x＋3

【答案】B

【解析】两因式x－1和x－2的乘积为x²－3x＋2，其常数项2与第三个因式的常数项相乘为－6，因此第三个因式的常数项为－3。

3．一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与该自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（　  ）。[2008年GRK真题]

A．

B．a－1；a＋1

C．

D．

E．a²－1；a²＋1

【答案】D

【解析】由题意知原自然数为a²，其前后自然数为a²－1和a²＋1，再开方得到算术平方根分别为

4．在代数式中有（　　）。

A．5个整式

B．4个单项式，3个多项式

C．6个整式，4个单项式

D．6个整式，单项式与多项式个数相同

E．4个单项式，5个多项式

【答案】D

【解析】5a，，xyz是单项式；是多项式；是分式。

5．如果与3x⁸y²是同类项，那么代数式（1－n）²⁰⁰³×的值为（　　）。

A．0

B．－1

C．＋1

D．±1

E．2

【答案】B

【解析】由与3x⁸y²是同类项可知，2n－1=8，解得n=4.5，将n=4.5代入上式得：

6．如果M=3x²－2xy－4y²，N=4x²＋5xy－y²，则8x²－13xy－15y²等于（　　）。

A．2M－N

B．2M－3N

C．3M－2N

D．4M－N

E．4M－2N

【答案】D

【解析】设aM＋bN=8x²－13xy－15y²，则，解得。

7．如果x²－x＋2的值为7，则为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】。

8．如果a－b=2，c－a=3，则（b－c）²－3（b－c）＋4的值为（　　）。

A．14

B．2

C．44

D．42

E．41

【答案】C

【解析】由a－b=2，c－a=3可得，b－c=（b－a）－（c－a）=－2－3=－5，将b－c=－5代入（b－c）²－3（b－c）＋4，得（－5）²－3×（－5）＋4=44。

9．的值是（　　）。（a、b、c均不等于零）

A．±3

B．±1

C．±1或±3

D．1或3

E．－1或－3

【答案】C

【解析】分四种情况考虑：①a、b、c均大于零，则；②a、b、c均小于零，则；③a、b、c中有一个小于零，则；④a、b、c中有两项小于零，则。

10．商场七月份售出一种新款书包a只，每只b元，营业额c元，八月份采取促销活动，每只打八折，售出该款书包3a只，那么八月份该款书包的营业额比七月份增加（　　）元。

A．1.4c

B．2.4c

C．3.4c

D．4.4c

E．5.4c

【答案】A

【解析】根据题意，可知ab=c。八月份的营业额为3a×（0.8b）=2.4ab=2.4c（元），所以八月份该款书包的营业额比七月份增加2.4c－c=1.4c（元）。

11．一件工作，甲单独做x天完成，乙单独做y天完成。如果两人合作，各自可提高工作效率20%，那么两人合作完成这件工作的时间为（　  ）天。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】设该项工作总量为1，甲单独工作的工作效率为，乙单独工作的工作效率为。由于甲乙合作各自的工作效率可提高20%，则甲乙合作的工作效率为，因此两人合作完成这项工作的时间为（天）。

12．若（x＋k）（x－5）的积中不含有x的一次项，则k的值是（　　）。

A．0

B．－5或5

C．－5

D．5

E．1

【答案】D

【解析】（x＋k）（x－5）=x²＋（k－5）x－5k，由于（x＋k）（x－5）的积中不含有x的一次项，所以k－5=0，即k=5。

13．的值为（　　）。

A．－1

B．

C．

D．2005

E．2004

【答案】C

【解析】

14．若2^x=3，4^y=5，则2^x－2y的值为（　　）。

A．

B．－2

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】

15．多项式x³－4x²y²＋3xy－1的项数、次数分别是（　　）。

A．3；4

B．4；2

C．3；3

D．4；3

E．4；4

【答案】E

【解析】多项式x³－4x²y²＋3xy－1有四项，分别为：x³，－4x²y²，3xy，－1；因为最高次项－4x²y²的次数为4，所以该多项式的次数为4。

16．若0.5a²b^y与a^xb的和仍是单项式，则正确的是（　　）。

A．x=2，y=0

B．x=－2，y=0

C．x=－2，y=1

D．x=2，y=1

E．x=1，y=2

【答案】D

【解析】0.5a²b^y与a^xb的和仍是单项式，即0.5a²b^y与a^xb为同类项，因此x=2，y=1。

17．减去－2x后，等于4x²－3x－5的代数式是（　　）。

A．4x²－5x－5

B．－4x²＋5x＋5

C．4x²－x－5

D．4x²－5

E．4x＋x＋5

【答案】A

【解析】被减代数式=4x²－3x－5＋（－2x）=4x²－5x－5。

18．下列计算正确的是（　　）。

A．x^m＋n=（x^m）ⁿ

B．aⁿ×a²=a²ⁿ

C．（a³）²=a⁵

D．x⁴×x³×x=x⁷

E．a^2n－3÷a^3－n=a^3n－6

【答案】E

【解析】A项，x^m＋n=x^m×xⁿ；B项，aⁿ×a²=a^2＋n；C项，（a³）²=a⁶；D项，x⁴×x³×x=x⁸。

19.x^2m＋1可写作（　　）。

A．x²×x^m＋1

B．（x²）^m＋1

C．（x^m）^2＋1

D．x×x^2m

E．（x^m）^m＋1

【答案】D

【解析】A项，x²×x^m＋1=x^m＋3；B项，（x²）^m＋1=x^2m＋2；C项，（x^m）^2＋1=x^3m；E项，（x^m）^m＋1=。

20．如果x²－kx－ab=（x－a）（x＋b），则k应为（　　）。

A．a＋b

B．a－b

C．b－a

D．－a－b

E．ab

【答案】B

【解析】因为（x－a）（x＋b）=x²－（a－b）x－ab，所以k=a－b。

21．（－a－b）²等于（　　）。

A．a²＋b²

B．a²－b²

C．a²＋2ab＋b²

D．a²－2ab－b²

E．（a－b）²

【答案】C

【解析】（－a－b）²=（a＋b）²=a²＋2ab＋b²。

22．若a≠b，下列各式中成立的是（　　）。

A．（a－b）³=a³－b³

B．（a＋b）²=（－a＋b）²

C．（a＋b）（a－b）=（b＋a）（b－a）

D．（a－b）²ⁿ=（b－a）²ⁿ

E．（a－b）³=（b－a）³

【答案】D

【解析】A项，（a－b）³=a³－b³－3a²b＋3ab²；B项，（a＋b）²=a²＋b²＋2ab，（－a＋b）²=a²＋b²－2ab；C项，（a＋b）（a－b）=a²－b²，（b＋a）（b－a）=b²－a²；E项，（a－b）³=－（b－a）³。

23．若a＋b=－1，则a²＋b²＋2ab的值为（　　）。

A．1

B．－1

C．3

D．－3

E．0

【答案】A

【解析】a²＋b²＋2ab=（a＋b）²=1。

24．代数式中单项式的个数为（　　）。

A．4

B．5

C．6

D．7

E．8

【答案】B

【解析】单项式有

25．组成多项式8x²－4x－9的各项是（　　）。

A．8x²，4x，9

B．8x²，－4x，－9

C．8，－4，－9

D．8x²－4x－9

E．－8x²，4x，9

【答案】B

【解析】多项式的每一项都包含前面的符号。

26．下列说法正确的是（　　）。

A．x³yz⁴没有系数，次数是7

B．不是单项式，也不是整式

C．是多项式

D．x³＋1是三次二项式

E．8x²y－4x－9是二次三项式

【答案】D

【解析】A项，x³yz⁴的系数为1，次数是8；B项，是整式；C项，是分式；E项，8x²y－4x－9是三次三项式。

27．如果一个多项式的次数是9，那么这个多项式任何一项的次数（　  ）。

A．都小于9

B．都等于9

C．都不小于9

D．都不大于9

E．都大于9

【答案】D

【解析】多项式的次数为多项式中最高次项的次数。

28．二次三项式ax²＋bx＋c为一次单项式的条件（　　）。

A．a≠0，b=0，c=0

B．a=0，b≠0，c=0

C．a=0，b=0，c≠0

D．a=0，b=0，c=0

E．a=0，b≠0，c≠0

【答案】B

【解析】ax²＋bx＋c为一次单项式，则其只有一次项bx。因此a=0，b≠0，c=0。

29．多项式－6y³＋4xy²－x²＋3x³y是按（　　）排列的。

A．x的升幂

B．x的降幂

C．y的升幂

D．y的降幂

E．x的升幂，y的降幂

【答案】A

【解析】多项式－6y³＋4xy²－x²＋3x³y中每一项x的次数依次为0、1、2、3，每一项y的次数依次为3、2、0、1。

30．多项式2x³－x²y²＋y³＋25的次数是（　　）。

A．二

B．三

C．四

D．五

E．六

【答案】C

【解析】多项式2x³－x²y²＋y3＋25的最高次项为－x²y²，其次数为4。

31．下列说法正确的是（　　）。

A．是多项式

B．3x⁴－5x²y²－6y⁴－2是四次四项式

C．x⁶－1的项数和次数都是6

D．是整式

E．ab²是多项式

【答案】B

【解析】A项，是分式；C项，x⁶－1的项数是2；D项，是分式；E项，ab²是单项式。

32．若m，n为自然数，则多项式x^m－yⁿ－4^m＋n的次数应是（　　）。

A．m

B．m＋n

C．n

D．m，n中较大的数

E．m－n

【答案】D

【解析】多项式的次数为最高次项的次数，－4^m＋n是常数项。

33．若是四次三项式，则n³=（　　）。

A．－8

B．8

C．±8

D．0

E．不能确定

【答案】A

【解析】由是四次三项式可得，|n|=2，n=±2。又因为上式是三项式，因此n≠2，所以n³=－8。

34．（－a^m）⁵×aⁿ可以写成（　　）。

A．－a^5＋m

B．a^5＋m

C．a^5m＋n

D．－a^5m＋n

E．－a^5＋m＋n

【答案】D

【解析】（－a^m）⁵×aⁿ=－a^5m×aⁿ=－a^5m＋n。

35．下列运算正确的是（　　）。

A．a⁴＋a⁵=a⁹

B．a³×a³×a³=3a³

C．2a⁴×3a⁵=6a⁹

D．（－a³）⁴=a⁷

E．（a⁴）⁵=a⁹

【答案】C

【解析】A项，a⁴＋a⁵=a⁴（a＋1）；B项，a³×a³×a³=a⁹；D项，（－a³）⁴=a¹²；E项，（a⁴）⁵=a²⁰。

36．设（5a＋3b）²=（5a－3b）²＋A，则A=（　  ）。

A．30ab

B．60ab

C．15ab

D．12ab

E．6ab

【答案】B

【解析】A=（5a＋3b）²－（5a－3b）²=30ab－（－30ab）=60ab。

37．已知x＋y=－5，xy=3，则x²＋y²=（　　）。

A．25

B．－25

C．19

D．－19

E．31

【答案】C

【解析】因为x＋y=－5，xy=3，所以x²＋y²=（x＋y）²－2xy=（－5）²－2×3=19。

38．已知x^a=3，x^b=5，则x^3a－2b等于（　　）。

A．

B．

C．

D．52

E．1

【答案】A

【解析】已知x^a=3，x^b=5，则x^3a－2b=（x^a）³×（x^b）^－2=3³×5^－2=。

39．一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm²，则这个正方形的边长为（　　）cm。

A．6

B．5

C．8

D．7

E．4

【答案】D

【解析】设正方形的边长为Xcm，面积为Scm²，则S=（X＋2）²=X²＋32，解得X=7。

40．以下各题运算正确的是（　　）。

A．（2x－3y）（3x＋2y）=6x²－6y²

B．（a³－a²）（a³－a²）=a⁹－2a⁶＋a⁴

C．

D．（a－b－c）²=a²＋b²＋c²－ab－bc－ca

E．（a＋b－c）²=a²＋b²＋c²－2ab－2bc－2ca

【答案】C

【解析】A项，（2x－3y）（3x＋2y）=6x²－5xy－6y²；B项，（a³－a²）（a³－a²）=a⁶－2a⁵＋a⁴；D项（a－b－c）²=a²＋b²＋c²－2ab＋2bc－2ca；E项，（a＋b－c）²=a²＋b²＋c²＋2ab－2bc－2ca。

41．（2a＋3b）²=（2a－3b）²＋（　　）。

A．6ab

B．8ab

C．12ab

D．16ab

E．24ab

【答案】E

【解析】（2a＋3b）²－（2a－3b）²=12ab－（－12ab）=24ab。

42．（3a－2b）（－3a－2b）=（　　）。

A．9a²－6ab－b²

B．b²－6ab－9a²

C．9a²－4b²

D．4b²－9a²

E．9a²＋4b²

【答案】D

【解析】（3a－2b）（－3a－2b）=－（3a－2b）（3a＋2b）=－（9a²－4b²）=4b²－9a²。

43．（x^n＋1）²（x²）^n－1=（　  ）。

A．x⁴ⁿ

B．x^4n＋3

C．x^4n＋1

D．x^4n－1

E．x^2n＋4

【答案】A

【解析】（x^n＋1）²（x²）^n－1=x^2n＋2×x^2n－2=x⁴ⁿ。

44．计算结果是x²＋7x－18的是（　　）。

A．（x－1）（x＋18）

B．（x＋2）（x＋9）

C．（x－3）（x＋6）

D．（x－2）（x＋9）

E．（x＋2）（x－9）

【答案】D

【解析】对x²＋7x－18进行因式分解，得（x－2）（x＋9）。

45．若3^a=5，9^b=10，则3^a＋2b=（　　）。

A．50

B．－5

C．15

D．27^a＋b

E．25

【答案】A

【解析】已知3^a=5，9^b=10，则3^a＋2b=3^a×9^b=50。

46．一个多项式的平方是4a²＋12ab＋m²，则m=（　　）。

A．9b²

B．－3b²

C．－9b²

D．3b²

E．3b

【答案】E

【解析】因为4a²＋12ab＋m²=（2a＋m）²=4a²＋4am＋m²，所以4am=12ab，m=3b。

47．有一个两位数，其十位数字为a，个位数字为b，将两个数颠倒，得到一个新的两位数，那么这个新两位数十位上的数字与个位数字的和与这个新两位数的积用代数式表示为（　　）。

A．ba（a＋b）

B．（a＋b）（b＋a）

C．（a＋b）（10a＋b）

D．（a＋b）（10b＋a）

E．a＋b

【答案】D

【解析】新的两位数为10b＋a，新两位数十位上的数字与个位数字的和为（a＋b）。

48．某班有学生m人，若每4人一组，有一组少2人，则所分组数是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】设所分组数为x，则4x－2=m，解得x=（组）。

49．浓度为p%和q%的盐水各akg和bkg，混合后从中取出ckg（c≤a＋b），那么关于这ckg盐水的说法：（1）浓度是（p＋q）%；（2）含盐（ap%＋bq%）kg；（3）浓度是；（4）含水是。其中说法正确的个数是（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．4

E．0

【答案】A

【解析】只有（3）正确。ckg盐水含盐，含水，浓度是。

50．下列关于代数式的叙述，正确的是（　  ）。

A．读作x减y分之一

B．读作x分之a减b

C．读作x除以3乘以y的平方

D．读作x的平方除以x与y的差

E．以上都不正确

【答案】D

【解析】A项，读作x与y的差分之一；B项，读作a减b的差除以x；C项，读作x除以3与y的平方的积。

51．下列各组单项式中，不是同类项的是（　  ）。

A．xy²和x²y

B．abc²和3ac²b

C．和0

D．和－2xy

E．与2xy

【答案】A

【解析】所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项称为同类项。

52．若A=4x²－3x－2，B=4x²－3x－4，则A、B的大小关系是（　　）。

A．A<B

B．A=B

C．A>B

D．无法确定

E．A≤B

【答案】C

【解析】A、B只有常数项不同，只要比较常数项即可，因为－2>－4，所以A>B。

53．若－4x^my²与x⁴yⁿ是同类项，则m－n的值是（　　）。

A．2

B．6

C．－2

D．－6

E．1

【答案】A

【解析】因为－4x^my²与x⁴yⁿ是同类项，所以m=4，n=2，m－n=2。

54．已知a－b=－1，则3b－3a－（a－b）³的值是（　　）。

A．－4

B．－2

C．4

D．2

E．1

【答案】C

【解析】3b－3a－（a－b）³=3（b－a）－（a－b）³=3×1－（－1）³=4。

55．式子的计算结果是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】根据平方差公式，

56．下列各恒等变形中，是因式分解的是（　  ）。

A．（a＋b）²=a²＋2ab＋b²

B．a²－2ab＋b²=（a－b）²

C．a²b＋ab²＋c=ab（a＋b）＋c

D．a²－2ab＋b²=（a－b）²－c

E．（a＋b）（a－b）=a²－b²

【答案】B

【解析】因式分解是把多项式写成几个因式相乘的形式。

57．下列运算中，正确的是（　　）。

A．x²×x³=x⁶

B．2x²＋3x²=5x²

C．（x²）³=x⁸

D．（x＋y²）²=x²＋y⁴

E．（x²）³=x⁵

【答案】B

【解析】A项，x²×x³=x⁵；C项，（x²）³=x⁶；D项，（x＋y²）²=x²＋y⁴＋2xy²；E项，（x²）³=x⁶。

58.a²x＋ay－a³xy在分解因式时，应提取的公因式是（　　）。

A．a²

B．ax

C．a

D．ay

E．xy

【答案】C

【解析】a²x＋ay－a³xy中每项都包含a，a²x＋ay－a³xy=a（ax＋y－a²xy），即应提取的公因式为a。

59．观察下列代数式：（1）2a＋b和a＋b；（2）5m（a－b）和－a＋b；（3）3（a＋b）和－a－b；（4）x³－y³和x²－xy＋y²。其中，有公因式的只有（　　）。

A．（1）、（2）

B．（2）、（3）

C．（3）、（4）

D．（2）、（4）

E．（1）、（4）

【答案】B

【解析】5m（a－b）和－a＋b的公因式为（a－b）；3（a＋b）和－a－b的公因式为（a＋b）。

60．多项式1－2xy²＋x²y⁴因式分解的结果正确的是（　　）。

A．（－1－x²y²）²

B．（－1－xy²）²

C．（1－x²y²）²

D．（－1＋xy²）²

E．（1＋xy²）²

【答案】D

【解析】1－2xy²＋x²y⁴=1－xy²－xy²＋x²y⁴=1－xy²－xy²（1－xy²）=（1－xy²）²=（－1＋xy²）²。

61．（－2）^2n＋1＋2（－2）²ⁿ的结果是（　　）。

A．0

B．－2^2n－1

C．2^2n＋1

D．2²ⁿ

E．－2

【答案】A

【解析】（－2）^2n＋1＋2（－2）²ⁿ=（－2）^2n＋1－（－2）^2n＋1=0。

62．下列说法中正确的是（　　）。

A．不是整式

B．－3x³y的次数是4

C．4ab与4xy是同类项

D．是单项式

E．是整式

【答案】B

【解析】A项，是整式；C项，同类项所含字母应相同；D项，是分式；E项，是分式。

63.ab减去a²－ab＋b²等于（　　）。

A．a²＋2ab＋b²

B．－a²－2ab＋b²

C．－a²＋2ab－b²

D．－a²＋2ab＋b²

E．a²－2ab＋b²

【答案】C

【解析】ab－（a²－ab＋b²）=ab－a²＋ab－b²=－a²＋2ab－b²。

64．下列各式中与a－b－c的值不相等的是（　  ）。

A．a－（b＋c）

B．a－（b－c）

C．（a－b）＋（－c）

D．（－c）－（b－a）

E．－b＋（a－c）

【答案】B

【解析】B项，a－（b－c）=a－b＋c。

65．将2（x＋y）－3（x－y）－4（x＋y）＋5（x－y）－3（x－y）合并同类项得（　　）。

A．－3x－y

B．－2（x＋y）

C．－x＋y

D．－2（x＋y）＋（x－y）

E．x＋y

【答案】A

【解析】2（x＋y）－3（x－y）－4（x＋y）＋5（x－y）－3（x－y）=－2（x＋y）－（x－y）=－3x－y。

66．若－4x²y和－23x^myⁿ是同类项，则m，n的值分别是（　　）。

A．m=2，n=1

B．m=2，n=0

C．m=4，n=1

D．m=4，n=0

E．m=4，n=2

【答案】A

【解析】所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项称为同类项，所以m=2，n=1。

67．下列各组中的两项属于同类项的是（　  ）。

A．与

B．－8a²b与5a²c

C．与

D．19abc与－28ab

E．－4a²d与5a²c

【答案】C

【解析】A项，相同字母的次数不同；BDE三项，所含字母不同。

二、条件充分性判断：要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论。A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断。

A．条件（1）充分，但条件（2）不充分。

B．条件（2）充分，但条件（1）不充分。

C．条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。

D．条件（1）充分，条件（2）也充分。

E．条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分。

二次三项式x²＋x－6是多项式2x²＋x³－ax²＋bx＋a＋b－1的一个因式。（　  ）[2009年GRK真题]

（1）a=16。

（2）b=2。

【答案】E

【解析】令x²＋x－6=0，则x=2或x=－3，代入原多项式结果应为0。条件（1），2×2²＋2³－16×2²＋3b＋15=3b－33≠0或2×（－3）²＋（－3）³－16×（－3）²－2b＋15=－2b－138≠0，不充分。条件（2），2×2²＋2³－a×2²＋a＋5=21－3a≠0或2×（－3）²＋（－3）³－a×（－3）²＋a－5=－8a－14≠0，不充分。条件（1）和条件（2）联合起来有：也不充分。