9.2　课后习题详解

§1　预备知识：上极限和下极限

1．证明：

证明：（1）设均为有限数，则上有界．

令于是，当n＞k时，有

从而

故

（2）因故

据下确界为下界中最大的，则

从而

则

即

2．设x_n≥0，y_n≥0，证明：

证明：（1）因

则

据上界是上界中最小的，则有

从而

则

即

（2）因则

据下确界是下界中最大的，则有

从而

则

即

3．若存在，则对任何数列{y_n}成立：

证明：设若（或－∞），则（1）显然成立，因α＞0，则（2）显然成立．

故不妨设为有限数，因故存在{y_n}的子列使且β为所有收敛子列的极限中的最大者．

又则故

下证α＋β为{x_n＋y_n}之一切收敛子列的极限中的最大者（用反证法）

假设{x_n＋y_n}的一个收敛子列，使

则

这与β为{y_n}的所有收敛子列的极限中的最大值矛盾．

于是α＋β就是{x_n＋y_n}所有收敛子列极限的最大值．

同理可证，当α＞0时，α＋β为{x_n＋y_n}的一切收敛子列的极限中的最大值．

从而

4．求下列数列的上极限与下极限：

解：（1）它只有两个具极限的子数列：

于是

（2）它只有两个具极限的子数列：

于是

（3）因故

（4）

当n＝10k＋2（k＝1，2，…）时，

当n＝10k－2（k＝1，2，…）时，

于是

5．若则此处k₀是任意固定的整数．

证明：（1）因

又故

由第2题（1），得

（2）因故存在子列使得

且当α＞0时，有

从而

综合（1）（2），得当α＞0时，结论成立．

（3）若α＝0，则显然有从而

于是得此结论正确．

6．若情况如何？

证明：（1）取由§1定理1，得{a_n}中至多只有有限项属于

令这有限项的足标最大者为N，则当n＞N时，有

（2）若，结论未必成立．

例：a_n＝1＋（－1）ⁿ，n＝1，2，…，这个数列为0，2，0，2，…，显然

而但有无穷多项a_2n＝2＞1（n＝1，2，…）

§2　级数的收敛性及其基本性质

1．讨论下列级数的敛散性：

解：（1）因

则

于是据定义知，级数收敛．

（2）因故级数发散．

（3）由于均为收敛的几何级数，

故由数列级数性质2，知

（4）因

则

于是据定义知，级数收敛．

（5）因故级数发散．

2．利用柯西收敛原理判别下列级数是收敛还是发散：

证明：（1）因对任何自然数p，

又|q|＜1，则0＜1－|q|^p＜1，于是

从而对取当n＞N时，对任何p＝1，2，3，…，

总成立

按收敛原理，级数收敛．

（2）此级数为

取不论n多大，若令p＝n，则有

因此级数发散．

3．设有正项级数（即每一项a_n＞0），试证明若对其项加括号所组成的级数收敛，则亦收敛．

证明：设部分和数列为{S_n}，加括号后所组成的级数为

其中显然仍为正项级数．

设其部分和数列为{S_n'}，其中

显然S_n'≥S_n

又收敛，由基本定理，得{S_n'}有上界，即存在M＞0，使S_n'≤M，从而S_n≤S_n'≤M，说明{S_n}有上界

则由基本定理，得收敛．

4．确定使下列级数收敛的x的范围．

解：（1）此级数是公比为的等比级数，故由时级数收敛

从而收敛域为x＜－2或x＞0．

（2）此级数是公比为lnx的等比级数，故当|lnx|＜1时级数收敛

从而收敛域为

§3　正项级数

1．判断下列级数的收敛与发散：

（13）其中皆正数，a≠0

解：（1）因而级数是发散的

则由比较判别法，得级数亦发散．

（2）因

则由达朗贝尔判别法，得级数收敛．

（3）因故级数发散．

（4）因而收敛，故级数收敛．

（5）因而收敛，故级数收敛．

（6）因故

又而级数是发散的

则由比较判别法，得级数发散．

（7）因故级数收敛．

（8）因故级数收敛．

（9）因且级数收敛

则据比较判别法，得级数收敛．

（10）因且级数收敛

则据比较判别法，得级数收敛．

（11）因故级数发散．

（12）因

则据达朗贝尔判别法，得级数收敛．

（13）因

则当即b＜a时，级数收敛；

当即b＞a时，级数发散 ；

当即b＝a时，需进一步判断．例如：级数发散；而级数收敛．

2．若正项级数收敛，证明也收敛，其逆如何？

证明：因收敛，则

取ε₀＝1，则存在正整数N，当n＞N时，有|u_n|＜ε₀＝1即0≤u_n＜1，于是

从而由比较判别法，得收敛．

其逆不真．例：收敛，但发散；收敛，收敛．

3．设为两正项级数，证明：当收敛时，也收敛．又若发散时，如何？若，那么的敛散性之间有什么关系？

证明：（1）因为两正项级数

取ε₀＝1，则存在正整数N，当n＞N时，有即于是u_n＜v_n（n＞N）

又收敛，则由比较判别法，得收敛

若发散，则也可能收敛，也可能发散

例：发散，，但收敛；

发散，，且发散．

（2）因为两正项级数

取G₀＝1，则存在正整数N，当n＞N时，有于是u_n＞v_n（n＞N）

若收敛，则由比较判别法，得收敛；若发散，则发散；若发散，则敛散性不定．

4．若两正项级数发散，两级数如何？

解：因两正项级数发散，

则由比较判别法，得发散．

对于敛散性不定．

例：都发散，也发散；

都发散，

但却收敛．

5．利用级数收敛的必要条件证明：

证明：（1）

因

则据达朗贝尔判别法的极限形式，得收敛，从而由级数收敛的必要条件，得

（2）

因

而于是从而

则据达朗贝尔判别法的极限形式，得收敛，从而由级数收敛的必要条件，得

6．讨论下列级数的收敛性：

解：（1）由于不论p为何数，当x充分大时，函数都是非负递减的，且

故当p＞1时，级数收敛；当p＜1时，级数发散．

（2）设当x≥3时是正值递减函数．

（3）因

故级数收敛．

又则由比较判别法，得级数收敛．

（4）令当x≤3时是正值递减函数．

又因为

对任何q，当p－1＞0时，积分收敛，的p－1＜0时，积分发散；当p＝1时，若q＞1，积分收敛，若q≤1，积分发散．

由柯西积分判别法知，原级数敛散性与积分敛散性条件一致，则原级数当p＞1时收敛；当p＜1时发散；当p＝1时，q＞1时级数收敛；q＜1时级数发散．

7．若是收敛的正项级数，并且数列{u_n}单调下降，证明

证明：因收敛，设

则于是

又{u_n}单调下降，则S_2n－S_n＝u_n＋1＋u_n＋2＋…＋u_2n＋u_2n＋…＋u_2n＝nu_2n

又u_n≥0，则0≤nu_2n≤S_2n－S_n，于是得从而

又因u_2n＋1≤u_2n，u_n≥0则

于是从而

8．设级数和都收敛，又设问：级数是否也收敛．

解：级数收敛，下证：

因则有，也即与均为正项级数．

因为级数和都收敛，所以也收敛，由正项级数的比较判别法可知，也收敛，又根据收敛，可知收敛．

9．证明达朗贝尔判别法及其极限形式．

证明：（1）达朗贝尔判别法：

因n＞N时，有则

因q＜1，则收敛，于是由收敛级数性质1知，也收敛，从而由比较判别法，得也收敛

再由收敛级数性质5知，添加有限项u₁，u₂，…，u_N＋1后得到的新级数也收敛．

若n＞N时，则这说明{u_N}是单调增加的

又u_n≥0，则于是发散．

（2）达朗贝尔判别法的极限形式：

（i）若

由买数的稠密性知必存在ε₀＞0，使得

由上极限的定理1的证明中，知只有有限项大于于是定存在一个正整数N（只要取有限项中下标最大的做N即可），使得当n＞N时，有故由达朗贝尔判别法知级数收敛．

（ii）若

由实数的稠密性知必存在ε₀＞0，使得

由上极限的定理2的证明中，知故由达朗贝尔判别法知级数发散．

（iii）举例说明：但发散；

但收敛．

§4　任意项级数

1．讨论下列级数的收敛性（包括条件收敛和绝对收敛）：

解：（1）因收敛，收敛，则收敛

于是收敛，即收敛，从而原级数绝对收敛．

（2）因发散，则发散

又对级数

因则由达朗贝尔判别法的极限形式，得级数收敛

于是原级数发散．

（3）因

又且发散，则由比较判别法，得发散

又设则于是单调下降，从而在n≥3时单调下降

又则

于是据莱布尼兹定理，得条件收敛．

（4）

因则据达朗贝尔判别法，得收敛

从而绝对收敛．

（5）

因发散，则发散

设则于是当x≥2时，f（x）单调下降，从而当n≥2时单调下降

又则据莱布尼兹定理，得收敛

从而条件收敛．

（6）

因且发散，则发散

又对因则存在N∈Z^＋，当n＞N时，有于是当n＞N时，与x有相同的符号且随n增大而减小到0，则由莱布尼兹判别法，得收敛

从而条件收敛．

（7）设部分和数列{S_n}，则于是则此级数加括号后发散，从而原始级数发散．

2．证明：若级数的项加括号后所作成的级数收敛，并且在同一个括号内项的符号相同，那末去掉括号后，此级数亦收敛；并由此考察级数的收敛性．

证明：（1）已知新级数

收敛．且在同一括号内符号相同

设则

当原级数下标n从n_k－1到n_k时，的部分和单调变化，即

当均为正时，有

当均为负时，有

已知收敛．

（2）考虑

当时，诸a_n同号，记

是交错级数

因

即从而，当k→∞时，A_k→0

又则由莱布尼兹判别法知收敛，从而原级数收敛．

3．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛：

解：（1）

因则由比较判别法，得发散

当x≥0时，单调减少，且则由莱布尼兹定理，得收敛

当x＜0且不为负整数时，因x为定数，则当n充分大时，即存在N∈Z^＋，当n＞N时，有n＋x＞0，于是是交错级数，且由单调减少及则收敛，从而收敛

则当x不为负整数时，此级数为条件收敛．

（2）因且则由达朗贝尔判别法，得收敛

再据比较判别法，得收敛，从而绝对收敛．

（3）因且数列单调趋于0

则由狄立克莱判别法，得收敛．

又且及数列单调趋于0

则由狄立克莱判别法，得收敛．

又发散，则发散，于是发散，从而发散

则级数条件收敛．

（4）（i）当p＞1时，因且当p＞1时收敛，则级数绝对收敛．

（ii）当0＜p≤1时，因且数列单调趋于0

则狄克莱判别法，得收敛．

又且由刚才证明可得收敛．

则收敛，即收敛

又当0＜p≤1时，发散，则发散，于是发散

从而发散

则级数当0＜p≤1时条件收敛．

（iii）当p≤0时，因当p≤0时发散．

4．若级数收敛，并且，能否断定也收敛？

证明：（1）若级数都是正项级数

由级数收敛，则据正项级数比较判别法，得级数收敛

（2）若级数不一定都是正项级数

由级数收敛，不可断定收敛

例：级数为莱布尼兹型级数，则其收敛且

由于收敛，发散，则发散．

5．若正项级数收敛，证明也收敛．又若收敛但它不是正项级数，那么结论又如何．

证明：因收敛，则

取ε₀＝1，则存在正整数N，当n＞N时，有|a_n|＜ε₀＝1即0≤a_n＜1，于是

从而由正项级数的比较判别法，得收敛．

若收敛但不是正项级数，无法判定是否收敛．例：级数收敛，但发散；收敛，收敛．

6．证明：若收敛，那么当x＞x₀时也收敛．

证明：因x＞x₀，则则且

于是数列单调有界，且

又级数收敛，则由阿贝尔判别法，得收敛．

7．设收敛，收敛，则也收敛．

证明：因收敛，设其极限为a

又收敛，则其部分和数列有极限，设其极限为S

又

即

则

于是收敛，从而收敛．

8．若绝对收敛，收敛，那么收敛．

证明：令

由Abel变换，得

故

令则有

因收敛，故收敛且故存在

因而存在M＞0，使对一切n，有

又收敛，从而对当n＞N时，对一切p∈Z^＋，有

由（4），（5）知，当n＞N时，有，这表明级数收敛．

9．利用柯西收敛原理证明交错级数的莱布尼兹定理．

证明：对任何自然数p，有

当p为偶数时，

当p为奇数时，

总之

又当p为偶数时，

当p为奇数时，

总之

对任意ε＞0，因则

于是必存在N∈Z^＋，当n＞N时，有则

由此，当n＞N时，对任何自然数p都有

从而由柯西收敛原理，得收敛．

§5　绝对收敛级数和条件收敛级数的性质

1．设|x|＜1，|y|＜1，证明：

证明：因|x|＜1，|y|＜1，则

（6）·（7）得，

又

则

2．证明：

证明：因则据达朗贝尔判别法的极限形式，得级数收敛

于是级数绝对收敛

同理，级数绝对收敛

可写成

其中

则

3．证明：可以作出条件收敛级数的更序数级数，使其发散到＋∞．

证明：设条件收敛

由定理1，得都发散，且发散到＋∞，发散到－∞

选取发散到＋∞的数列{β_n}，即

把按顺序一项一项加起来

取m₁，使得v_1＋v₂＋…＋v_m1＞β₁＋w₁

然后取m₂，使v₁＋v₂＋…＋vm₁＋ v_m1＋1＋…＋v_m2＞β₂＋w₁＋w₂

一般地，可取充分大m_k＞m_k－1，使得v₁＋v₂＋…＋v_m1＋…v_m2＋…＋v_mk＞β_kw₁＋w₂＋…w_k（k＝3，4…）

这样交错地放入一组正项和一个负项：

此级数显然为原级数的更序级数

因（*）加括号后的级数的k次部分和

而

则发散到＋∞

又发散级数可任意去括号，则可以作出条件收敛级数的更序级数，使其发散到＋∞．

§6　无穷乘积

1．讨论无穷乘积的收敛性：

解：（1）因且

又且收敛，则收敛，于是收敛

从而据定理2，得收敛．

（2）

因级数为莱布尼兹型级数，则其收敛，于是级数收敛，从而无穷乘积收敛．

（3）由于部分乘积

故无穷乘积发散于0．

2．证明：若收敛，则收敛．

证明：因且

又收敛，则收敛。于是据定理2，得收敛。

3．证明：若绝对收敛，则收敛．

证明：

因绝对收敛，则于是

由绝对收敛，得收敛，于是绝对收敛

从而绝对收敛．