第一节　工程力学

一、工程力学概述

（一）研究对象

建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分称为结构。结构是由若干构件按一定方式组合而成的。组成结构的各单独部分称为构件。例如：大型厂房的厂房结构由屋顶、楼板和吊车梁、柱等构件组成。

结构受荷载作用时，如不考虑建筑材料的变形，其几何形状和位置不会发生改变。结构按其几何特征分为三种类型：

1.杆系结构：由杆件组成的结构。杆件的几何特征是其长度远远大于横截面的宽度和高度。

2.薄壁结构：由薄板或薄壳组成。薄板或薄壳的几何特征是其厚度远远小于另两个方向的尺寸。

3.实体结构：由块体构成。其几何特征是三个方向的尺寸基本为同一数量级。

工程力学的研究对象主要是杆系结构。

（二）研究内容和任务

工程力学是研究结构的几何组成规律，以及在荷载的作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性问题。研究平面杆系结构的计算原理和方法，为结构设计合理的形式，其目的是保证结构按设计要求正常工作，并充分发挥材料的性能，使设计的结构既安全可靠又经济合理。

进行结构设计时，要求在受力分析基础上，进行结构的几何组成分析，使各构件按一定的规律组成结构，以确保在荷载的作用下结构几何形状不发生改变。

结构正常工作必须满足强度、刚度和稳定性的要求。

强度是指抵抗破坏的能力。满足强度要求就是要求结构构件在正常工作时不发生破坏。

刚度是指抵抗变形的能力。满足刚度要求就是要求结构的构件在正常工作时产生的变形不超过允许范围。

稳定性是指结构或构件保持原有的平衡状态的能力。满足稳定性要求就是要求结构的构件在正常工作时不突然改变原有平衡状态，以免因变形过大而破坏。

工程力学主要研究以下几个部分的内容。

1.静力学基础。这是工程力学的重要基础理论。包括物体的受力分析、力系的简化与平衡等刚体静力学基础理论。

2.杆件的承载能力计算。这部分是计算结构承载能力计算的实质。包括基本变形杆件的内力分析和强度、刚度计算，压杆稳定和组合变形杆件的强度、刚度计算。

3.静定结构的内力计算。这部分是静定结构承载能力计算和超静定结构计算的基础。包括研究结构的组成规律、静定结构的内力分析和位移计算等。

4.超静定结构的内力分析。是超静定结构的强度和刚度问题的基础。包括力法、位移法、力矩分配法和矩阵位移法等求解超静定结构内力的基本方法。

（三）基本假设

工程力学中将物体抽象化为两种计算模型：刚体和理想变形固体。

刚体是在外力作用下形状和尺寸都不改变的物体。实际上，任何物体受力的作用后都发生一定的变形，但在一些力学问题中，物体变形这一因素与所研究的问题无关或对其影响甚微，这时可将物体视为刚体，从而使研究的问题得到简化。

理想变形固体是对实际变形固体的材料理想化，作出以下假设：

1.连续性假设。认为物体的材料结构是密实的，物体内材料是无空隙的连续分布。

2.匀性假设。认为材料的力学性质是均匀的，从物体上任取或大或小一部分，材料的力学性质均相同。

3.向同性假设。认为材料的力学性质是各向同性的，材料沿不同方向具有相同的力学性质，而各方向力学性质不同的材料称为各向异性材料。

按照上述假设理想化的一般变形固体称为理想变形固体。刚体和变形固体都是工程力学中必不可少的理想化的力学模型。

综上所述，工程力学把所研究的结构和构件看作是连续、均匀、各向同性的理想变形固体，在弹性范围内和小变形情况下研究其承载能力。

（四）荷载的分类

结构工作时所承受的主动外力称为荷载。荷载可分为不同的类型。

1.按作用性质可分为静荷载和动荷载。由零逐渐缓慢增加到结构上的荷载称为静荷载，静荷载作用下不产生明显的加速度。大小方向随时间而改变的荷载称为动荷载。地震力、冲击力、惯性力等都为动荷载。如火车轮对对钢轨的荷载就是动荷载。

2.按作用时间的长短可分为恒荷载和活荷载。永久作用在结构上大小、方向不变的荷载称为恒荷载。结构、固定设备的自重等都为恒荷载。暂时作用在结构上的荷载称为活荷载。风、雪荷载等都是活荷载。

3.按作用范围可分为集中荷载和分布荷载。若荷载的作用范围与结构的尺寸相比很小时，可认为荷载集中作用于一点，称为集中荷载。分布作用在体积、面积和线段上的荷载称为分布荷载。结构的自重、风、雪等荷载都是分布荷载。当以刚体为研究对象时，作用在结构上的分布荷载可用其合力（集中荷载）代替，但以变形体为研究对象时，作用在结构上的分布荷载不能用其合力代替。

二、静力学基础知识

（一）基本概念

静力学是研究物体的平衡问题的科学。主要讨论作用在物体上的力系的简化和平衡两大问题。所谓平衡，在工程上是指物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，它是物体机械运动的一种特殊形式。

1.刚体的概念

工程实际中的许多物体，在力的作用下，它们的变形一般很微小，对平衡问题影响也很小，为了简化分析，我们把物体视为刚体。所谓刚体，是指在任何外力的作用下，物体的大小和形状始终保持不变的物体。静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学。

2.力的概念

力的概念是人们在长期的生产劳动和生活实践中逐步形成，通过归纳、概括和科学的抽象而建立的。力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变，或使物体产生变形。力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应，而使物体发生变形的效应称为内效应。刚体只考虑外效应，变形固体还要研究内效应。

3.力的三要素

力对物体作用的效果，取决于力的大小、方向和作用点。这三个因素称为力的三要素。在力的三要素中，改变其中任何一个，都将改变力对物体的作用效果。

（1）力的大小：是物体相互作用的强弱程度。在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或千牛顿（kN）表示，1kN=103N。1N的物理意义是：使质量为1kg的物体产生1m/s2加速度所需的力。

（2）力的方向：包含力的方位和指向两方面的含义。如重力的方向是“竖直向下”。“竖直”是力作用线的方位，“向下”是力的指向。

（3）力的作用位置：是指物体上承受力的部位。一般来说是一块面积或体积，称为分布力；而有些分布力分布的面积很小，可以近似看作一个点时，这样的力称为集中力。

如果改变了力的三要素中的任一要素，也就改变了力对物体的作用效应。

既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量。可以用一带箭头的线段来表示，如图1-1所示。线段AB长度按一定的比例尺表示力F的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向。线段的起点A或终点B表示力的作用点。线段AB的延长线（图中虚线）表示力的作用线。

一般来说，作用在刚体上的力不止一个，我们把作用于物体上的一群力称为力系。如果作用于物体上的某一力系可以用另一力系来代替，而不改变原有的状态，这两个力系互称等效力系。如果一个力与一个力系等效，则称此力为该力系的合力，这个过程称力的合成；而力系中的各个力称此合力的分力，将合力代换成分力的过程为力的分解。在研究力学问题时，为方便地显示各种力系对物体作用的总体效应，用一个简单的等效力系（或一个力）代替一个复杂力系的过程称为力系的简化。力系的简化是刚体静学的基本问题之一。

4.力的分类

按物体间相互作用的接触面分为集中力和分布力两种。

（1）集中力：力作用的面积很小或与受力物体的面积相比很小，可以忽略力的作用面积抽象为一个点，认为力集中作用于这一点，如推力、拉力等。

（2）分布力（载荷）：力作用的面积很大或与受力物体的面积相比不能忽略，而是在一定范围内连续分布于物体上的。如风对墙面的作用力、水对船壳的作用力等。

（二）五个基本公理

1.公理一：二力平衡公理

作用于同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件是：力的大小相等，方向相反，作用在同一直线上。

此公理给出了作用于刚体上的最简力系平衡时所必须满足的条件，是推证其他力系平衡条件的基础。在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体，若物体是构件或杆件，也称二力构件或二力杆件简称二力杆。

2.公理二：加减平衡力系公理

在作用于刚体的任意力系中，加上或减去平衡力系，并不改变原力系对刚体作用效应。

（1）推论一：力的可传性原理

作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的效应。

证明：设力F作用于刚体上的点A，如图1-2所示。在力F作用线上任选一点B，在点B上加一对平衡力F1和F2，使

F1=-F2=F

则，F1、F2、F构成的力系与F等效。将平衡力系F、F2减去，则F1与F等效。此时，相当于力F已由点A沿作用线移到了点B。

又如图1-3所示，用小车运送物品时，不论在车后A点用力F推车，或是在车前同一直线上的B点用力F拉车，对于车的运动而言，其效果都是一样的。

由此可知，作用于刚体上的力是滑移矢量，因此作用于刚体上力的三要素为大小、方向和作用线。

3.公理三：力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力，它的大小和方向由以这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。如图1-4（a）所示，以FR表示力F1和力F2的合力，则可以表示为：FR=F1+F2。即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量合。

在求共点两个力的合力时，常采用力的三角形法则，如图1-4（b）所示。从刚体外任选一点a作矢量ab代表力F1，然后从b的终点作bc代表力F2，最后连起点a与终点c得到矢量ac，则ac就代表合力矢FR。分力矢与合力矢所构成的三角形abc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。

（2）推论二：三力平衡汇交定理

刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。

4.公理四：作用与反作用公理

两个物体间相互作用力，总是同时存在，它们的大小相等，指向相反，并沿同一直线分别作用在这两个物体上。

物体间的作用力与反作用力总是同时出现，同时消失。可见，自然界中的力总是成对地存在，而且同时分别作用在相互作用的两个物体上。

这个公理概括了任何两物体间的相互作用的关系，不论对刚体或变形体，不管物体是静止的还是运动的都适用。应该注意，作用力与反作用力虽然等值、反向、共线，但它们不能平衡，因为二者分别作用在两个物体上，不可与二力平衡公理混淆起来。

5.公理五：刚化原理

变形体在已知力系作用下平衡时，若将此变形体视为刚体（刚化），则其平衡状态不变。

此原理建立了刚体平衡条件与变形体平衡条件之间的关系，即关于刚体的平衡条件，对于变形体的平衡来说，也必须满足。

但是，满足了刚体的平衡条件，变形体不一定平衡。例如一段软绳，在两个大小相等，方向相反的拉力作用下处于平衡，若将软绳变成刚杆，平衡保持不变。反过来，一段刚杆在两个大小相等、方向相反的压力作用下处于平衡，而绳索在此压力下则不能平衡。

可见，刚体的平衡条件对于变形体的平衡来说只是必要条件而不是充分条件。

（三）约束与约束反力

工程上所遇到的物体通常分两种：可以在空间作任意运动的物体称为自由体，如飞机、火箭等；受到其他物体的限制，沿着某些方向不能运动的物体称为非自由体。

如悬挂的重物，因为受到绳索的限制，使其在某些方向不能运动而成为非自由体，这种阻碍物体运动的限制称为约束。约束通常是通过物体间的直接接触形成的。

既然约束阻碍物体沿某些方向运动，那么当物体沿着约束所阻碍的运动方向运动或有运动趋势时，约束对其必然有力的作用，以限制其运动，这种力称为约束反力，简称反力。

工程实际中常见的几种约束类型及其约束反力的特性。

1.柔性约束

绳索、链条、皮带等属于柔索约束。理想化条件：柔索绝对柔软、无重量、无粗细、不可伸长或缩短。由于柔索只能承受拉力，所以柔索的约束反力作用于接触点，方向沿柔索的中心线而背离物体，为拉力。

2.光滑接触面约束

当物体接触面上的摩擦力可以忽略时，即可看作光滑接触面，这时两个物体可以脱离开，也可以沿光滑面相对滑动，但沿接触面法线且指向接触面的位移受到限制。所以光滑接触面约束反力作用于接触点，沿接触面的公法线且指向物体，为压力，如图1-5和图1-6所示。

3.光滑铰链约束

工程上常用销钉来连接构件或零件，这类约束只限制相对移动不限制转动，且忽略销钉与构件间的摩擦。若两个构件用销钉连接起来，这种约束称为铰链约束，简称铰连接或中间铰，图1-7（a）所示。图1-7（b）为计算简图。

铰链约束只能限制物体在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，但不能限制物体绕销钉轴线相对转动。如图1-7（c）所示，铰链约束的约束反力作用在销钉与物体的接触点D，沿接触面的公法线方向，使被约束物体受压力。但由于销钉与销钉孔壁接触点与被约束物体所受的主动力有关，一般不能预先确定，所以约束反力FC的方向也不能确定。

因此，其约束反力作用在垂直于销钉轴线平面内，通过销钉中心，方向不定。为计算方便，铰链约束的约束反力常用过铰链中心两个大小未知的正交分力XC、YC来表示，如图1-7（d）所示。两个分力的指向可以假设。

4.固定铰支座

将结构物或构件用销钉与地面或机座连接就构成了固定铰支座，如图1-8（a）所示。固定铰支座的约束与铰链约束完全相同。简化记号和约束反力如图1-8（b）和图1-8（c）所示。

5.辊轴支座

在固定铰支座和支承面间装有辊轴，就构成了辊轴支座，又称活动铰支座，如图1-9（a）所示。这种约束只能限制物体沿支承面法线方向运动，而不能限制物体沿支承面移动和相对于销钉轴线转动。所以其约束反力垂直于支承面，过销钉中心指向可假设，如图1-9（b）和图1-9（c）所示。

6.链杆约束

两端以铰链与其他物体连接中间不受力且不计自重的刚性直杆称链杆，如图1-10（a）所示。这种约束反力只能限制物体沿链杆轴线方向运动，因此链杆的约束反力沿着链杆，两端中心连线方向，指向或为拉力或为压力，如图1-10（b）和图1-10（c）所示。链杆属于二力杆的一种特殊情形

7.固定端约束

将构件的一端插入一固定物体（如墙）中，就构成了固定端约束。在连接处具有较大的刚性，被约束的物体在该处被完全固定，即不允许相对移动也不可转动。固定端的约束反力，一般用两个正交分力和一个约束反力偶来代替，如图1-11所示。

（四）物体受力图的画法

静力学问题大多是受一定约束的非自由刚体的平衡问题，解决此类问题的关键是找出主动力与约束反力之间的关系。因此，必须对物体的受力情况作全面的分析，即物体的受力分析，它是力学计算的前提和关键。

物体的受力分析包含两个步骤：

一是把该物体从与它相联系的周围物体中分离出来，解除全部约束，单独画出该物体的图形，称为取分离体。

二是在分离体上画出全部主动力和约束反力，这称为画受力图，如图1-11（d）所示。

恰当地选取研究对象，正确地画出构件的受力图是解决力学问题的关键。画受力图的具体步骤如下：

1.明确研究对象，画出分离体；

2.在分离体上画出全部主动力；

3.在分离体上画出全部约束反力。

【例1-1】简支梁两端分别为固定铰支座和可动铰支座，在C处作用一集中荷载FP[图1-12（a）]，梁重不计，试画梁AB的受力图。

【解】取梁AB为研究对象。作用于梁上的力有集中荷载FP，可动铰支座B的反力FB，铅垂向上，固定铰支座A的反力用过点A的两个正交分力XA的YA表示。受力图如图1-12（b）所示。由于梁受三个力作用而平衡，故可由推论二确定FA的方向。用点D表示力FP和FB的作用线交点。FA的作用线必过交点D，如图1-12（c）所示。

三、力系的平衡问题

（一）力系的分类

根据力系中各力作用线的位置，力系可分为平面力系和空间力系。

各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。在平面力系中又可以分为平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面一般力系。在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系称平面汇交力系。

（二）平面力系的简化与平衡

如果在一个力系中，各力的作用线均分布在同一平面内，但它们既不完全平行，又不汇交于同一点，那么，将这种力系称为平面一般力系，简称平面力系。

1.力向一点平移

作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置，但必须在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，该附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。这个结论称为力的平移定理。

（1）力对点之矩

力使物体产生转动效应的物理量称为力矩。产生转动的中心点称为力矩中心（简称矩心），力的作用线到力矩中心的距离d称为力臂，力使物体绕矩心转动的效应取决于力F的大小与力臂d的乘积及力矩的转动方向。力对点之矩用MO（F）来表示，即：

MO（F）=±Fd

力矩是代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。规定力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。力矩单位为N·m或kN·m。

（2）力偶及其性质

力偶的定义：作用在物体上的一对大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力称为力偶，记作（F，F′）。

力偶既不平衡，也不能合成为一个合力，只能使物体产生转动效应。力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面。两力作用线之间的垂直距离，称作力偶臂（以d来表示）。力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。力偶对物体的转动效应，取决于力偶中的力与力偶臂的乘积，称为力偶矩。M（F，F′）或M（F，F′）=±Fd。

（3）力偶的等效性：作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。

【推论1】力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。

【推论2】在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动效应。

2.平面力系向一点的简化

（1）简化结果

平面一般力系向作用面内任意一点简化的结果，一般是一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢，与简化中心的具体位置无关；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，即等于原力系对简化中心的主矩，随简化中心位置的变化而变化。

（2）简化结果分析及合力矩定理

平面任意力系向O点简化，一般得一个力和一个力偶，如图1-13所示。可能出现的情况有四种：

①R′≠0，MO=0，原力系简化为一个力，力的作用线过简化中心，此合力的矢量为原力系的主矢即RO=R′=∑F。

②R′=0，MO≠0，原力系简化为一力偶。此时该力偶就是原力系的合力偶，其力偶矩等于原力系的主矩。此时原力系的主矩与简化中心的位置无关。

③R′=0，MO=0，原力系平衡。

④R′≠0，MO≠0，这种情况下，由力的平移定理的逆过程，可将力R′和力偶矩为MO的力偶进一步合成为一合力R，如图1-14所示。将力偶矩为MO的力偶用两个力R与R″表示，并使R′=R=R″，R″作用在点O，R作用在点O′，如图1-14所示。R′与R″组成一对平衡力，将其去掉后得到作用于O′点的力R，与原力系等效。因此这个力R就是原力系的合力。显然R′=R，而合力作用线到简化中心的距离为：

当MO>0时，顺着RO的方向看（图1-14），合力R在RO的右边；当MO<0时，合力R在RO的左边。

由上分析，我们可以导出合力矩定理。

由图1-14可见，合力对点之矩为

mO（R）=R·d=MO

而　　MO=∑mO（F）

则　　mO（R）=∑mO（F）　　（1-2）

因为O点是任选的，上式有普遍意义。

于是，得到合力矩定理：平面任意力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

3.平面力系的平衡

物体的平衡，即物体的运动状态不变，包括静止和匀速直线运动两种，且这两种情况均是相对地球而言。某物体处于平衡状态，就是说某物体在力的作用下，其运动状态保持不变，在土木工程中，则多数情况下是指相对地球处于静止状态。

（1）平衡条件

平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任意一点的主矩均为零，即：

（2）平衡方程

平衡条件（上式）也可以用解析式的形式来表示。任选两个相交的坐标轴x和y，于是上式可写成：

这组方程为平面力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式是力矩方程。

【例1-2】一端固定的悬臂梁如图1-15（a）所示。梁上作用均布荷载，荷载集度为q，在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩为m的力偶的作用。试求固定端A处的约束反力。

【解】取梁AB为研究对象。受力图及坐标系的选取如图1-15（b）所示。列平衡方程

由　　∑X=0，XA=0

∑Y=0，YA-ql-P=0

解得　　YA=ql+P

由　　∑m=0，mA-ql2/2-Pl-m=0

解得　　mA=ql2/2+Pl+m

（3）静定和超静定问题及物体系统的平衡

从上述讨论得知，对每一种力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，称为静定问题。前面所讨论的都属于这类问题。

但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的约束，而使未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平衡方程全部求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。对于超静定问题的求解，要考虑物体受力后的变形，列出补充方程。

（三）空间力系的平衡

1.力对轴之矩

力对轴之矩是度量力使物体绕某轴转动效应的力学量。实践表明，力使物体绕一个轴转动的效果，不仅与力的大小有关，而且和力与转轴之间的相对位置有关。日常生活中的一扇门可绕固定轴z转动。

将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy（即为力F在平面Oxy上的投影）。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，即力Fz对z轴的矩为零；只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。现用符号mz（F）表示力F对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点，h为O点到力Fxy作用线的距离。因此，力F对z轴的矩与其分力Fxy对点O的矩等效，即

mz（F）=mo（Fxy）=±Fxyh　　（1-5）

可得力对轴之矩的定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度，是一个代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为：从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号。

当力与轴共面时力对该轴的之矩为零。力对轴之矩的单位为牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。另外，合力矩定理在空间力系中也同样适用。

2.空间力系的平衡

（1）平衡条件

空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零

有六个独立的平衡方程，要以求解六个未知数。

（2）空间汇交力系的平衡方程

从空间任意力系的平衡方程，很容易导出空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。如图1-16（a）所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力系的汇交点为坐标系Oxyz的原点，则不论此力系是否平衡，各力对三轴之矩恒为零，即∑mx（F）≡0，∑my（F）≡0，∑mz（F）≡0。因此，空间汇交力系的平衡方程为：

∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0　　（1-7）

（3）空间平行力系的平衡方程

如图1-16（b）所示，设物体受一空间平行力系的作用。令轴与这些力平行，则各力对于轴的矩恒等于零；又由于轴和轴都与这些力垂直，所以各力在这两个轴上的投影也恒等于零。即∑mz（F）≡0，∑Fx≡0，∑Fy≡0。因此空间平行力系的平衡方程为

∑Fz=0，∑mx（F）=0，∑my（F）=0　　（1-8）

空间汇交力系和空间平行力系分别只有三个独立的平衡方程，因此只能求解三个未知。

【例1-3】一辆三轮货车自重FG=5kN，载重F=10kN，作用点位置如图1-17所示。求静止时地面对轮子的反力。

【解】自重FG、载重F及地面对轮子的反力组成空间平行力系。

∑Fx=0　　FA+FB+FC-GA-F=0

∑mx（F）=0　1.5FA—0.5FG—0.6F=0

∑my（F）=0　—0.5FA—1FB+0.5FG+0.4FA=0

联立以上方程得：

FA=5.67kN，FB=5.66kN，FC=3.67kN

（四）物体的重心

1.物体重心概念

物体的重力是地球对物体的引力，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，则每个微小的部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地看成是空间平行力系，该力系的合力即为物体的重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个点就是物体的重心。重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。

在工程上，设计重心位置直接关系到建筑物的抗倾稳定性及其内部受力的分布。

机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果；而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。

如图1-18所示，设一物体放置于坐标系Oxyz中，将物体分成许多微小的部分，其所受的重力各为ΔPi，作用点即微小部分的重心为Ci，其对应坐标分别为xi、yi、zi，所有ΔPi的合力P就是整个物体所受的重力，其大小即整个物体的重量为P=∑Δp，其作用点即为物体的重心C。

2.物体的重心坐标公式为

若物体是均质的，其单位体积的重量为γ，各微小部分体积为ΔVi，整个物体的体积为V=∑ΔV，则ΔPi=γΔVi，P=γV代入式（1-9），得

由式（1-9）可知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念，只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。

若物体是均质薄壳（或曲面），其重心（或形心）坐标公式为

若物体是或均质细杆（或曲线），其重心（或形心）坐标公式为

3.物体重心与形心的计算

根据物体的具体形状的特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。

（1）对称法

由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的平面图形，其形心在对称轴上；具有两根或两根以上对称轴的平面图形，其形心在对称轴的交点上；有对称中心的物体，其形以在对称中心上，如图1-19所示。

（2）组合法

有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查表求得，再应用形心坐标公式计算出组合图形的形心这种方法称组合法。

【例1-4】图1-20为一倒T形截面，求该截面的形心。

【解】因图形有一对称轴，故取该轴为轴，则图形形心必在轴上，即xc=0。将图形分成两部分A1、A2，各分图形面积及坐标yi如下：

A1=200×400=80000mm2

Y1=400/2+100=300mm

A2=600×100=60000mm2

Y1=100/2=50mm

则

四、杆件强度与刚度计算

进行结构的受力分析时，只考虑力的运动效应，可以将结构看作是刚体，但进行结构的内力分析时，要考虑力的变形效应，必须把结构作为变形固体处理。所研究杆件受到的其他构件的作用，统称为杆件的外力。外力包括载荷（主动力）以及载荷引起的约束反力（被动力）。

广义地讲，对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外，还有温度改变、支座移动、制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形及其组合变形。

（一）杆件的外力与变形特点

1.轴向拉伸与压缩

受力特点：杆件受到与杆件轴线重合的外力的作用。

变形特点：杆沿轴线方向的伸长或缩短。

产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉压杆。如图1-21所示屋架中的弦杆、牵引桥的拉索和桥塔、阀门启闭机的螺杆等均为拉压杆。

2.剪切

受力特点：杆件受到垂直杆件轴线方向的一组等值、反向、作用线相距极近的平行力的作用。

变形特点：二力之间的横截面产生相对的错动。

产生剪切变形的杆件通常为拉压杆的连接件。如图1-22所示螺栓、销轴连接中的螺栓和销钉，均产生剪切变形。

3.扭转

受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。

变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。

产生扭转变形的杆件多为传动轴，房屋的雨篷梁也有扭转变形，如图1-23所示。

4.平面弯曲

受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。

变形特点：杆轴线由直变弯。

各种以弯曲为主要变形的杆件称为梁。工程中常见梁的横截面多有一根对称轴，各截面对称轴形成一个纵向对称面，梁的轴线也在该平面内弯成一条曲线，这样的弯曲称为平面弯曲，如图1-24所示。平面弯曲是最简单的弯曲变形，是一种基本变形。

单跨静定梁有悬臂梁、简支梁和外伸梁三种形式，如图1-25所示。

（二）杆件的内力计算

1.内力的概念

构件的材料是由许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。

工程力学所研究的内力是由外力引起的，内力随外力的变化而变化，外力增大，内力也增大，外力撤销后，内力也随之消失。

显然，构件中的内力是与构件的变形相联系的，内力总是与变形同时产生。构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截面上的内力值。

2.截面法

确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图1-26（a）所示为任意受平衡力系作用的构件，为了显示并计算某一截面上的内力，可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分。将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示，此即该截面上的内力。

根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内力用位于该截面形心处的合力（简化为主矢和主矩）来代替。尽管内力的合力是未知的，但总可以用其六个内力分量（空间任意力系）Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz来表示，如图1-26（b）所示。因为构件在外力作用下处于平衡状态，所以截开后的保留部分也应保持平衡。由此，根据空间力系的六个平衡方程：

∑Fx=0　　∑Fy=0　　∑Fz=0

∑mx=0　　∑my=0　　∑mz=0

即可求出Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz等各内力分量。用截面法研究保留部分的平衡时，各内力分量相当于平衡体上的外力。

截面上的内力并不一定都同时存在上述六个内力分量，一般可能仅存在其中的一个或几个。随着外力与变形形式的不同，截面上存在的内力分量也不同，如拉压杆截面上的内力，只有与外力平衡的轴向内力Nx。

截面法求内力的步骤可归纳为：

（1）截开：在欲求内力截面处，用一假想截面将构件一分为二。

（2）代替：弃去任一部分，并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替（即显示内力）。

（3）平衡：根据保留部分的平衡条件，确定截面内力值。

3.内力计算

（1）轴向拉（压）杆件横截面上的内力

如图1-27（a）所示为一受拉杆，用截面法求m-m截面上的内力，取左段[图1-27（b）]为研究对象：

由　　∑X=0　　N-P=0

解得　　N=P

同样以右段[图1-27（c）]为研究对象：

由　　∑X=0　　N/-P=0

解得　　N/=P

由此可见，N与N′大小相等，方向相反，符合作用与反作用定律。由于内力的作用线与轴线重合，故称轴力。其实际是横截面上分布内力的合力。

为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力N有相同的符号，则规定：轴力N方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。

【例1-5】一等直杆受4个轴向力作用[图1-28（a）]，试求指定截面的轴力。

【解】假设各截面轴力均为正，如图1-28（b）所示。

由　　∑X=0　　N1-P=0

解得　　N1=P=10kN

如图1-28（c）所示，由　　∑X=0　　N2-P1-P2=0

解得　　N2=P1+P2=35kN

如图1-28（d）所示，由　　∑X=0　　N3-P1+P3-P2=0

解得　　N3=P1-P3+P2=-20kN

结果为负值，说明N3为压力，由上述轴力计算过程可推得：任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。即：

N=∑P　　（1-13）

（2）受扭杆件横截面上的内力

如图1-29（a）所示为一受扭杆，用截面法来求n-n截面上的内力，取左段作用于其上的外力仅有一力偶mA[图1-29（b）]，因其平衡，则作用于n-n截面上的内力必合成为一力偶。

由　　∑mx=0　　T-mA=0

解得　　T=mA

T称为n—n截面上的扭矩。

杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力称扭矩，用T表示，单位为N·m或kN·m。

按右手螺旋法则将T表示为矢量，当矢量方向与截面外法线方向相同为正[图1-29（c）]，反之为负[图1-29（d）]。

【例1-6】图1-30（a）所示的传动轴的转速n=300r/min，主动轮A的功率NA=400kW，3个从动轮输出功率分别为NC=120kW，NB=120kW，ND=160kW，试求指定截面的扭矩。

【解】由，得

如图1-30（b）所示，由∑mx=0，T1+mB=0

解得　　T1=-mB=-3.82（kN·m）

如图1-30（c）所示，由　　∑mx=0，T2+mB+mC=0

解得　　T2=-mB-mC=-7.64（kN·m）

如图1-30（d）所示，由　　∑mx=0，T3-mA+mB+mC=0

解得　　T3=mA-mB-mC=5.09（kN·m）

由上述扭矩计算过程推得：任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。即

T=∑m　　（1-14）

【例1-7】如图1-31所示的传动轴有4个轮子，作用轮上的外力偶矩分别为mA=3kN·m，mB=7kN·m，mC=2kN·m，mD=2kN·m，试求指定截面的扭矩。

【解】由T=∑m，得

取左段T1=-mA=-3kN·m

取右段T1=-mB+mC+mD=-3kN·m

取左段T2=-mA+mB=4kN·m

取右段T2=mC+mD=4kN·m

取左段T3=-mA+mB-mC=2kN·m

取右段T3=mD=2kN·m

（3）梁横截面上的内力

如图1-32（a）所示的简支梁，受集中载荷P1、P2、P3的作用，为求距A端x处横截面m-m上的内力，首先求出支座反力RA、RB，然后用截面法沿截面m-m假想地将梁一分为二，取如图1-32（b）所示的左半部分为研究对象。因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q，称为剪力。

剪力是与横截面相切的分布内力系的合力，同时左段梁上各力对截面形心O之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M表示，称为弯矩，它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力，如图1-32（c）所示。

由　　∑Y=0　　RA-P1-Q=0

解得　　Q=RA-P1

由　　∑mO=0　　-RAx+P1（x-a）+m=0

解得　　m=RAx-P1（x-a）

当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负，如图1-32（a）所示。

当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负，如图1-32（b）所示。

【例1-8】试求如图1-33（a）所示外伸梁指定截面的剪力和弯矩。

【解】如图1-33（b）所示，求梁的支座反力。

由　　∑mB=0　　-RCa-P×2a+mA=0

解得　　RC=3P

由　　∑Y=0　　RC-RB-P=0

解得　　RB=2P

如图1-33（c）所示，由　　∑Y=0　　-Q1-RB=0

解得　　Q1=-2P

由　　∑mO1=0　　M1+RB=（1.3a-a）-mA=0

解得　　M1=-RB=（1.3a-a）+mA=0.4Pa

如图1-33（d）所示，由　　∑Y=0　　RC-Q2-RB=0

解得　　Q2=P

由　　∑mO2=0　　M2+RB（2.5a-a）-RC×0.5a=0

解得　　M2=-RB（2.5a-a）+mA+RC×0.5a=-0.5Pa

由上述剪力及弯矩计算过程推得：

任一截面上的剪力的数值等于对应截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上的投影的代数和，且当外力对截面形心之矩为顺时针转向时外力的投影取正，反之取负。

任一截面上弯矩的数值等于对应截面一侧所有外力对该截面形心的矩的代数和，若取左侧，则当外力对截面形心之矩为顺时针转向时取正，反之取负；若取右侧，则当外力对截面形心之矩为逆时针转向时取正，反之取负，即

Q=∑P，M=∑m　　（1-15）

（三）应力计算

1.应力的概念

内力是构件横截面上分布内力系的合力，只求出内力，还不能解决构件的强度问题。为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布的规律，为此引入应力的概念。内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。

设在某一受力构件的m-m截面上，围绕K点取为面积ΔA[图1-34（a）]，ΔA上的内力的合力为ΔF，这样，在ΔA上内力的平均集度定义为。

一般情况下，m-m截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力p平均随所取ΔA的大小而不同，当ΔA→0时，上式的极限值

即为K点的分布内力集度，称为K点处的总应力。p是一矢量，通常把应力p分解成垂直于截面的分量σ和相切与截面的分量τ。由图中的关系可知

σ=psinα　　τ=pcosα

式中，σ为正应力；τ为剪应力。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa（帕）表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这一单位甚小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）。1kPa=103Pa，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。

2.横截面上的正应力

（1）横截面上的正应力

为观察杆的拉伸变形现象，在杆表面上作出如图1-35（a）所示的纵、横线。当杆端加上一对轴向拉力后，由图1-35（a）可见：杆上所有纵向线伸长相等，横线与纵线保持垂直且仍为直线。由此作出变形的平面假设：杆件的横截面，变形后仍为垂直于杆轴的平面。于是杆件任意两个横截面间的所有纤维，变形后的伸长相等。又因材料为连续均匀的，所以杆件横截面上内力均布，且其方向垂直于横截面[图1-35（b）]，即横截面上只有正应力σ。于是横截面上的正应力为

σ=N/A　　（1-17）

式中，σ为横截面面积，σ的符号规定与轴力的符号一致，即拉应力σt为正，压应力σc为负。

注意：由于加力点附近区域的应力分布比较复杂，式（1-17）不再适用，其影响的长度不大于杆的横向尺寸。

（2）梁弯曲时的正应力

在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，如图1-36（a）所示梁的AC及DB段。此二段梁不仅有弯曲变形，而且还有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。为使问题简化，先研究梁内仅有弯矩而无剪力的情况，如图1-36（a）所示梁的CD段，这种弯曲称为纯弯曲。

（3）纯弯曲变形现象与假设

为观察纯弯曲梁变形现象，在梁表面上作出图1-37（a）所示的纵、横线，当梁端上加一力偶M后，由图1-37（b）可见，横向线转过了一个角度但仍为直线；位于凸边的纵向线伸长了，位于凹边的纵向线缩短了；纵向线变弯后仍与横向线垂直。由此作出纯弯曲变形的平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压，即所有与轴线平行的纵向纤维均是轴向拉、压。

如图1-37（c）所示，梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，由于载荷作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。如图1-37（c）所示。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。

（4）纯弯曲时横截面上正应力的计算公式

当M>0，y>0时，σ为拉应力；y<0时，σ为压应力。

在上述公式推导过程中，并未涉及矩形的几何特征。所以只要载荷作用于梁的纵向对称面内，式（1-18）就适用。此外，虽然式（1-18）是在纯弯曲条件下推导的，但是，当梁较细长时，该公式同样适用于横力弯曲时的正应力计算。

横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力σmax发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。由式（1-18）得

令Iz/ymax=Wz，则式（1-19）可写为

式中，Wz仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。若截面是高为h，宽为b的矩形，则

若截面是直径为d的圆形，则

若截面是外径为D、内径为d的空心圆形，则

3.杆件横截面上的切应力

（1）薄壁圆筒扭转时的应力

为了观察薄壁圆筒的扭转变形现象，先在圆筒表面上作出如图1-38（a）所示的纵向线及圆周线，当圆筒两端加上一对力偶m后，由图1-38（b）可见：各纵向线仍近似为直线，且其均倾斜了同一微小角度γ，各圆周线的形状、大小及圆周线绕轴线转了不同角度。由此说明，圆筒横截面及含轴线的纵向截面上均没有正应力，则横截面上只有切于截面的切应力τ。因为薄壁的厚度δ很小，所以可以认为切应力沿壁厚方向均匀分布，如图1-38（e）所示。

式中，R0为圆筒的平均半径。

扭转角ф于切应变γ的关系，由图1-38（b）有

Rф≈lγ

（2）切应力互等定理

用相邻的两个横截面、两个径向截面及两个圆柱面，从圆筒中取出边长分别为dx、dy、dz的单元体[图1-38（d）]，单元体左、右两侧面是横截面的一部分，则其上作用有等值、反向的切应力τ，其组成一个力偶矩为（τdzdy）dx的力偶，则单元体上、下面上的切应力τ′必组成一等值、反向的力偶与其平衡。

由　　∑m=0，（τ′zdx）dy-（τdzdy）dx=0

解得　　τ=τ′　　（1-23）

式（1-23）表明：在互相垂直的两个平面上，切应力总是成对存在，且数值相等；两者均垂直两个平面交线，方向则同时指向或同时背离这一交线。在单元体的四个侧面上，只有切应力而没有正应力作用，这种情况称为纯剪切。

（3）剪切虎克定律

通过薄壁圆筒扭转试验可得逐渐增加的外力偶矩m与扭转角ф的对应关系，然后由式（1-21）和式（1-22）得一系列的τ与γ的对应值，便可作出如图1-39所示的τ—γ曲线（由低碳钢材料得出的），其与低碳钢的σ—ε曲线相似。在τ—γ曲线中OA为一直线，表明τ≤τP时，τ∝γ这就是剪切虎克定律，即

τ=Gγ　　（1-24）

式中　G为比例系数，称为剪切弹性模量。

（4）圆轴扭转时的切应力

①扭转变形现象及平面假设

由图1-40可知，圆轴与薄壁圆筒的扭转变形相同。由此作出圆轴扭转变形的平面假设：圆轴变形后其横截面仍保持为平面，其大小及相邻两横截面间的距离不变，且半径仍为直线。按照该假设，圆轴扭转变形时，其横截面就像刚性平面一样，绕轴线转了一个角度。

②切应力公式

这就是圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式。

在圆截面边缘上，ρ的最大值为R，则最大切应力为

令Wn=IP/R，则式（1-26）可写为

式中　Wn仅与截面的几何尺寸有关，称为抗扭截面模量。

若截面是直径为d的圆形，则

若截面是外径为D，内径为d的空心圆形，则

【例1-9】如图1-41所示，传动轴的转速n=360r/min，其传递的功率N=15kW。已知D=30mm，d=20mm。试计算AC段横截面上的最大切应力，CD段横截面上的最大和最小切应力。

【解】由，计算外力偶矩

计算扭矩

T=m=398N·m

AC段，

4.梁横截面上的切应力

工程中的梁，大多数并非发生纯弯曲，而是剪切弯曲。但由于其绝大多数为细长梁，并且在一般情况下，细长梁的强度取决于其正应力强度，而无须考虑其切应力强度。

但在遇到梁的跨度较小或在支座附近作用有较大载荷；铆接或焊接的组合截面钢梁（如工字形截面的腹板厚度与高度之比较一般型钢截面的对应比值小）；木梁等特殊情况，则必须考虑切应力强度。

（四）杆件的强度计算

由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。

1.正应力与切应力强度条件

轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。塑性及脆性材料的极限应力σu分别为屈服极限σs（或σ0.2）和强度极限σb，则材料在单向应力状态下的破坏条件为

σ=σu

材料的许用拉（压）应力，则单向应力状态下的正应力强度条件为

σ≤〔σ〕　　（1-28）

同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件

τ≤〔τ〕　　（1-29）

2.正应力强度计算

由式（1-17）和式（1-29），拉（压）杆的正应力强度条件为

由式（1-17）和（1-29），梁弯曲的正应力强度条件为

应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。

3.切应力强度计算

（1）圆轴扭转

圆轴扭转时切应力强度条件为

【例1-10】如图1-42（a）所示的阶梯形圆轴，AB段的直径d1=40mm，BD段的直径d2=70mm，外力偶矩分别为：mA=0.7kN·m，mC=1.1kN·m，mD=1.8kN·m。许用切应力〔τ〕=60MPa，试校核该轴的强度。

【解】AC、CD段的扭矩分别为T1=-0.7kN·m，T2=-1.8kN·m。扭矩如图1-42（b）所示。

虽然CD段的扭矩大于AB段的扭矩，但CD段的直径也大于AB段直径，所以对这两段轴均应进行强度校核。

故该轴满足强度条件。

（2）梁弯曲

梁弯曲时切应力强度条件为

（五）杆件的刚度计算

在工程实际中，对于轴向拉（压）杆，除极特殊情况外，一般不会因其变形过大而影响正常使用，因此一般不考虑其变形。而对于扭转轴和平面弯曲梁及发生组合变形的构件则需要考虑刚度问题。

1.轴的刚度条件

扭转轴在满足强度条件的同时，要求其最大单位长度扭转角θmax不应大于许用单位长度扭转角[θ]，则轴得刚度条件为

式中　[θ]的单位为rad/m，若以°/m为单位，则轴的刚度条件为

2.梁的刚度条件

在工程实际中，梁在载荷作用下，要求其最大挠度和转角不得超过某一规定数值，则梁的刚度条件为

式中　[v]和[θ]分别为规定的许用挠度和许用转角，可从有关的设计规范中查得。

【例1-11】有一闸门启闭机的传动轴。已知材料为45号钢，剪切弹性模量G=79GPa，许用切应力[τ]=88.2MPa，许用单位扭转角[θ]=0.5°/m，使原轴转动的电动机功率为16kW，转速为3.86r/min，试根据强度条件和刚度条件选择圆轴的直径。

【解】（1）计算传动轴传递的扭矩

（2）由强度条件确定圆轴的直径

而，则

（3）由刚度条件确定圆轴的直径

由式（1-34）有

而，则

选择圆轴的直径d=160mm，即满足强度条件又满足刚度条件。