§2.2 用分离系数消元法解线性方程组_线性代数简明教程-QQ阅读男生历史网

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§2.2 用分离系数消元法解线性方程组

§2.1用消元法解线性方程组，当未知量个数、方程个数较多时，总带着未知量x1, x2, …, xn是很麻烦的．实际上消元过程只是对未知量的系数进行运算，本节介绍分离系数消元法．

导学提纲

1．何谓“矩阵”？它与行列式在本质和形式上有什么区别？

2．写出习题1.1中各线性方程组的“系数矩阵”和“增广矩阵”.

3．对矩阵可以施行哪三种初等行（列）变换？它与行列式的性质有什么区别？

4．分离系数消元法就是对增广矩阵施行一系列初等行变换，将其化成阶梯形，在有解时，进一步化成约化阶梯形，从而直接写出全部解．

5．为什么对增广矩阵不能施行初等列变换？

6．何谓矩阵的“秩数”？为什么矩阵经过初等行（列）变换，秩数不变？

7．线性方程组在什么条件下有解？当有解时，在什么情况下有唯一解？在什么情况下有无穷多解？怎样写出全部解？

定义2.2.1 由s×n个数aij（i=1,2, …, s; j=1,2, …, n）排成的矩形表

称为s行n列矩阵．aij称为矩阵的（i, j）元．矩阵通常用大写字母A， B, …或Asn, Bsn, …或（aij）sn, （bij）sn, …表示．元素全为“0”的矩阵称为零矩阵，记作0sn．当s=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵．

例如，一般线性方程组

称

是方程组（1）的系数矩阵；称

是方程组（1）的增广矩阵．

定义2.2.2 对矩阵施行以下三种变换，称为矩阵的初等变换．

（1）对换矩阵的两行（列），称为换法变换；

（2）用非零数c乘以矩阵的某一行（列），称为倍法变换；

（3）将矩阵某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为消法变换．

增广矩阵可以看成线性方程组的简便记法．用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换．以下用分离系数消元法重解例2.1.1、例2.1.2、例2.1.3（即例2.1.1′、例2.1.2′、例2.1.3′）.

例2.1.1′

解注2

注2：注表示对换矩阵的i, j行（列）; 表示用非零数c乘以矩阵的第i行（列）;表示将矩阵第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，以上记号写在“—→”的上（下）面，表示行（列）变换．

最后一个增广矩阵表示与原方程组同解的方程组，得唯一解：

例2.1.2′

解

最后一个增广矩阵第3行表示矛盾方程0x1+0x2+0x3=6，无解，所以方程组无解．

例2.1.3′

解

最后一个增广矩阵表示与原方程组同解的方程组

它有无穷多解，移项

x3是自由未知量，全部解为

其中c为任意数．

为了总结出线性方程组有解判别定理，我们给出

定义2.2.3 在矩阵A=（aij）sn中任取k行、k列，位于行列交叉点的k2个元素构成的行列式，称为A的一个k阶子式，1≤k≤min（s, n）.

定义2.2.4 如果矩阵A=（aij）sn中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）都等于零，则称矩阵A的秩数等于r，记作秩（A）=r．换句话说，矩阵A中不等于零的子式最高阶数就是A的秩数．零矩阵的秩数等于零．

例如，例2.1.1′最后一个系数矩阵

中有一个3阶子式

A中没有4阶子式，就说秩（B）=3，增广矩阵

中有一个3阶子式

中没有4阶子式，就说秩.

例2.1.2′最后一个系数矩阵

中有一个2阶子式

而B中所有（只有一个）3阶子式

就说秩（B）=2．增广矩阵

中有一个3阶子式

中没有4阶子式，就说秩.

例2.1.3′最后一个系数矩阵

中有一个2阶子式

而所有（只有一个）3阶子式

就说秩（B）=2，增广矩阵

中有一个2阶子式

而所有（共4个）3阶子式

全等于零，所以秩.

定理2.2.1 矩阵经过初等变换，秩数不变．

分析证明如果A是1阶矩阵，定理显然成立．以下设A=（aij）sn, s≥2, n≥2．从求证入手，设矩阵A经过初等变换得到B，并设A中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零．欲证B中也有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，那就要看初等变换对A中各阶子式的值有什么影响？回顾行列式性质，对换A中两行（列），含这两行（列）的子式反号；用非零数c乘以A中某一行（列）, A中含这一行（列）的子式值乘以c≠0；将A的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，含这两行（列）的子式值不变．因此，A中有一个r阶子式不等于零，B中也有一个r阶子式不等于零；A中所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，那么B中所有r+1阶子式（如果还有的话）也全等于零．