12.9 复流形

最后，我们回到第10章提到的复流形上来。当我们将黎曼曲面视为一维曲面时，我们只能根据复平面上的全纯运算来考虑。对高维流形，我们也可以这么来对付。考虑坐标x1，x2，…，xn，现在它们均为复数z1，z2，…，zn，并且关于这些坐标的函数全是全纯函数。我们再次将流形视为由一块块坐标拼块“粘合”起来的，每块拼块是坐标空间Cn的开区域，该空间里的点表示复数的n元组（z1，z2，…，zn）（从§10.2，“C”本身就代表复数系）。表坐标变换的转移函数完全由全纯函数确定。我们可按与前述相同的方式来定义实n维流形下的全纯矢量场、全纯余矢量场、全纯p形式、全纯张量等。

图12.17 张量的图示记法记号。价张量Q表示为带3个臂2条腿的椭圆，一般的价张量图有p个臂q条腿。在表示像这样的式子时，图示记法用臂和腿的末端在纸上的位置变动来表示指标的变动，而不是诉诸指标字母。张量指标的缩并用臂和腿的连接来表示，图中展示了的图。这个图同时也展示了横在各指标线段上的粗横杠所表示的反对称化，和表示对称化的波浪线。图中因子是（为简化计算）对称项和反对称项在图示记法中消去时产生的归一化阶乘分母（这里我们需要）。在图的下半段，反对称项和对称项均写成“无实体”的表达式（利用§13.3，图13.6（c）引入的克罗内克的图示）。它们被用来表示（多矢量的）楔积ξ∧η和ξ∧η∧ζ。

但还存在另一种哲学立场：我们可根据实部和虚部来表示复数坐标zj=xj+iyj（或者这么说吧，如果将复共轭也作为可接受函数包括进来，那么运算就不必是专门的全纯函数，见§10.1）。于是，“复n维流形”不再被看作是n维空间，而是实2n维流形。当然，这是一种带有非常特殊的局部结构（这里指复结构）的2n维流形。

我们有各种方法来表述这一概念。本质上说，这里需要的是一种高维下的柯西－黎曼方程（§10.5），但表述上不尽相同。我们来考虑流形上复矢量场与实矢量场之间的关系。可将复矢量场ζ表为如下形式

ζ=ξ+iη，

这里ξ和η均为2n维流形上的普通实矢量场。所谓“复结构”不过是告诉我们这些实矢量场是如何彼此联系的，以及为使ζ能够成为“全纯的”，它们应遵从什么样的微分方程。现在，我们来考虑新的由复场ζ乘以i产生的复矢量场。可以看到，为了保持协调性，必有iζ=－η+iξ，这样实矢量场ζ由－η取代，而η则由ξ取代，实施这种替代的运算J（即J（ξ）=－η，J（η）=ξ）就是通常所指的“复结构”。

图12.18 更多的张量的图示记法记号。余矢量β（1形式）的图有一条单腿，它与矢量ξ的单臂相连给出二者的标积。更一般地，由价张量Q定义的多重线性形式用图来表示，就是将p个可变余矢量的p个臂与腿相连，再将q个矢量的q条腿与臂相连（图中给出的是q=3和p=2情形）。一般张量的对称和反对称部分可用图12.17里运算中的波浪线和粗横杠来表示。横杠也可与体积n形式ξrs…w（n维空间）及其对偶n矢量εrs…w的图示记法连用，给出二者的归一化εrs…wεrs…w=n！等价于（n！=εab…fεrs…w（n个反对称指标）和（εa…cu…wεa…ce…f=p！（n－p）！）（见§13.3和图13.6（c））的关系也可以用图示记法表示。图中下方依次表示的是形式的外积，p形式与（n－p）矢量的“对偶”，以及“简单性”条件。（外导数的图见图14.18。）

若两次使用J，相当于增加一负号（因为i2=－1），故这种操作可写成

J2=－1。

这个条件定义了所谓殆复结构。为了将其具体化到实际复结构里去，有必要提出与之协调的“全纯”流形概念，这是一种J所遵循的微分方程。[21]还有一条著名定理，称之为纽兰德－尼伦博格定理，[22]它说的是，带J结构的2n维实流形是解释m维复流形的充分（还应加上必要）条件。这条定理使我们可以自由地在关于复流形的两种观点上作出选择。