12.7 体积元，求和规则

现在我们回到n维流形M的p形式与（n－p）维矢量之间的关系上来。为了理解这种关系，最好是先考察一下p=n的极限情形。这时我们实际上研究的是M上n形式与标量场之间的关系。对于n形式ε的情形，M的o点上相伴的n维曲面元正好是o点上整n维切平面。ε只提供对n维密度的量度，无所谓方向性。这种密度（假定处处不为零）有时用来代表n维流形M的体积元。体积元可用来将（n－p）维矢量转换为p形式，反之亦可。（有时还存在一种用来赋给流形作为其“结构”的体积元，此时p形式与（n－p）维矢量之间不存在根本区别。）

怎样才能够利用体积元将（n－p）维矢量转换到p形式呢？我们知道，利用n形式ε的分量在每个坐标拼块下的表达式，ε可表为具有n个反对称下指标的量

εr…w

（有些人喜欢将因子（n！）－1包含在这个表达式里，但我不太理会在这种地方出现的各种别扭的因子，它们会影响到我们对主要概念的注意力。）我们可以用这个量εr…w将（n－p）维矢量ψ的分量族ψu…w转换成p形式α的分量族αr…t。下节我们将利用张量代数运算的便捷性对此作充分讨论。这种代数将ψu…w的n－p个上指标与εr…w的n个下指标里的n－p个指标“粘合”，剩下的p个不匹配的下指标正好是αr…t所需的，这种“粘合”运算其实就是张量的“缩并”（或“平移”），它确保每个上指标能够与相应的下指标配对，这些配对指标在求和之后的最终表达式里被消去。

缩并的原型是标积，它将余矢量β的分量βr和矢量ξ的分量ξr这两组分量的相应元素相乘，然后对相同指标求和，从而合并成一个标量

β·ξ=∑βrξr，

这里求和是指相同指标r（一个上标一个下标）的加和。这种求和处理可以应用到多指标量上。物理学家们发现，采用由爱因斯坦引入的这种求和约定实在太方便了。这种约定在运算上略去了实际加号，并假定，只要在某一项的上下指标位置上出现相同的指标字母，就意味着对这一对上下指标求和，求和运算总是对该指标从1取到n。相应地，现在标积可简单写成

β·ξ=βrξr。

利用这一约定，我们可将上述根据（n－p）维矢量和体积元来表达p形式的处理过程概括为

αr…t∝εr…tu…wψu…w，

这里有n－p个指标u，…，w被缩并掉。我在这里引入符号“∝”代表“正比于”，表示符号两边的每一边都是另一边的非零倍数。这样表达式就不会充斥着各种复杂的因子，让人看着眼晕。有时譬如说（n－p）维矢量ψ和p形式α互为对偶关系[14]，如果这种关系（直至正比性）成立，此时还存在相应的逆运算

ψu…w∝αr…tεr…tu…w，

这里ε（n维矢量）是适当的体积的倒数形式，常与ε按下式“归一化”：

ε·ε=εr…wεr…w=n！，

（尽管我们在此并不关心归一化问题）。

这些公式均属经典张量代数（§12.8）的一部分，它提供了一种强有力的操作程序（它们均可扩展到张量的微积分上，我们将在第14章再作详述），利用指数记法加上爱因斯坦求和规则，我们可得到不少东西。在这种代数里，用于反对称化的方括号和对称化的圆括号也起着重要作用：

等等，

其中所有定义为方括号的负号均为正号取代。

作为方括号记法优越性的另一些例子，我们来看看怎样写出简单p形式α或q维矢量ψ的条件，即是说，如何写出p个个体1形式的楔积或q个普通矢量的楔积。根据各自的分量，相应的条件为

α［r…tαu］v…w=0 或 ψ［r…tψu］v…w=0，

这里第一个因子的所有指标与第二个因子的某一个指标构成“斜对称积”。[15]如果α和ψ恰巧互为对偶，则我们可将两个条件并为

ψr…tuαuv…w=0，

这里只有ψ的一个指标与α的一个指标缩并。这样表达的对称性说明，简单p形式的对偶是简单（n－p）维矢量，反之也一样。***〔12.16〕