12.5 形式的积分

现在我们来考察p形式的“密度”特征。我们知道，在普通物理里，物体的密度是指其单位体积的质量。这个密度是组成该物体材料的一种属性。如果我们知道一个物体的总体积及其所用材料属性，那么我们就可用“密度”概念来估算它的总质量。从数学上说，我们要做的就是对该密度作体积分。本质上，所谓密度不过是在某种区域上一种适当可积的量，即积分符号后的那个被积函数。这里要小心的是区分不同维空间的积分。（例如，“单位面积质量”是一种不同于“单位体积质量”的量。）我们发现p形式正是这么一种在p维空间里适当可积的量。

我们从1形式开始来研究这种积分。这是最简单情形，涉及的只是一维流形上某个量的积分，即沿曲线γ的积分。由§6.6里的普通（一维）积分知，这个积分可写成

∫f（x）dx，

这里x是沿曲线γ所取的某个实变量。我们把量“f（x）dx”视为1形式的记号。1形式的记法已被精心裁剪得与通常积分记法相一致。这就是20世纪计算领域里著名的外演算，它是由杰出的法国数学家嘉当（Élie Cartan，1869～1951）引入的，这个名字我们还会在第13、14和17章里遇到。这种演算与17世纪莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646～1716）引入的“dx”记法可谓是珠联璧合。在嘉当框架下，我们不是把“dx”看作是“无穷小量”，而是一种适当的密度（1形式），它用来作沿曲线的积分。

这种记法好在它自动地与我们欲调用的变量变化相联系。譬如说，如果我们改变参量x到另一参量X，则我们认为1形式α=f（x）dx保持不变——即∫α保持不变——即使它关于x或X的显函数表达式有变化。**〔12.9〕我们也可将1形式α看作是定义在曲线所在的更高维背景空间上的。参数x或X可视为这种背景空间里某个坐标拼块下的坐标。这样，当我们变到另一个坐标拼块时，很自然地就过渡到另一个坐标。我们可将这个积分简记为

∫α 或 ∫Rα，

这里R代表用来积分给定曲线γ的某一段。

那么怎么表示高维下的区域积分呢？对二维区域，积分号后的被积函数应为2形式，[9]写成f（x，y）dx∧dy（或类似的和），这样，我们有

∫Rf（x，y）dx∧dy=∫Rα

（或这样的量的和），这里R是待积的二维区域面积，它取自某个给定的二维曲面。参数x，y作为曲面的局域坐标，同样可用一对数偶来表示，只是记号的区分上要当心，别弄混了。如果2形式得自二维区域R所在的高维背景空间，那么上述计算不会有任何问题。所有这些计算均可推广到三维区域下的3形式和四维区域下的4形式，等等。嘉当微分记号下的楔积（包括§12.6里的外导数）在坐标变化时同样成立。（这里无须述及繁复的“雅可比行列式”。）***〔12.10〕

由§6.6的微积分基本定理可知，对于一维积分，积分运算是微分运算的逆运算，换言之，

这一定理在高维下是否有相应的类比形式呢？回答是肯定的。不同维下的这种类比曾冠以不同的称呼（Ostrogradski，Gauss，Green，Kelvin，Stokes，等等），但其一般结果，也就是嘉当的微分形式外演算的基本部分，通常称为“外演算基本定理”。[10]这个定理是建立在嘉当的一般外导数概念上的，下面我们就先讨论外导数这个概念。