12.3 标量、矢量和余矢量
如同§10.2节所述，我们同样有流形M上的光滑函数Φ概念（有时候称为M上的标量场）。Φ定义在坐标拼块上，作为这个拼块上n维坐标的光滑函数。这里“光滑”是指“C∞光滑”（见§6.3），因为由此得到的理论最为简明。在两个拼块的重叠处，一个拼块的坐标是另一个拼块坐标的光滑函数。因此在重叠区域，Φ关于一组坐标是光滑的意味着它关于另一组坐标也是光滑的。以这种方式将局部（拼块上）定义的标量函数Φ的光滑性推广到整个M，我们就得到了整个M上函数Φ的光滑性。
下一步我们来定义M上的矢量场ξ概念。几何上，我们应将矢量场理解为M上的一簇“箭头”（图10.5），这里ξ是这样一种量，它以微分算子形式作用在（光滑）标量场Φ上，产生另一个标量场ξ（Φ）。类似于§10.3里的二维情形，ξ（Φ）可理解为Φ在ξ所代表箭头方向上的增长率。作为“微分算子”，ξ同样满足相应的代数关系（类似我们在§6.5节里的情形，即d（f+g）=df+dg，d（fg）=fdg+gdf，da=0若a为常数的话）：
ξ（Φ+Ψ）=ξ（Φ）+ξ（Ψ），
ξ（Φ Ψ）=Φ ξ（Ψ）+Ψ ξ（Φ），
ξ（k）=0如果k是常数的话．
事实上，有定理证明，这些代数性质足以使ξ成为一种矢量场。[6]
我们还可以用纯代数方法来定义1形式，它的另一个名字叫余矢量场。（一会儿我们就来说明它的几何意义。）余矢量场α可看作是矢量场到标量场的映射，α对ξ的作用写成α·ξ（α与ξ的标积），这里，对矢量场ξ和η，以及标量场Φ，我们有线性关系：
α·（ξ+η）=α·ξ+α·η，
α·（Φ ξ）=Φ（α·ξ）。
这些关系将余矢量定义为矢量的偶。可以证明，二者之间的这种对偶关系是对称的，因此我们有相应的关系式
（α+β）·ξ=α·ξ+β·ξ，
（Φ α）·ξ=Φ（α·ξ），
上述关系给出了两个余矢量之和的定义，以及余矢量与标量之积的定义。若取余矢量空间的对偶空间，我们即得到原始的矢量空间，反之也一样。（换句话说，“余矢量”也是矢量。）
图12.6 n维流形M在o点的切空间T0可直观地理解为这样一种极限空间：当o点的邻域变得越来越小时，我们用放大倍数越来越高的放大镜来观察它所得到的结果。（比较图10.6。）结果空间T0是平直的：是一种n维矢量空间。
我们可将这些关系看作是定义在整个场上的，也可视其为是定义在M的某一点上的。某固定点o上的所有矢量组成一个矢量空间。（正如在§11.1里描述的，在矢量空间内，两元素ξ和η相加构成二者之和ξ+η，并有ξ+η=η+ξ和（ξ+η）+ζ=ξ+（η+ζ），还可以用实数f和g等标量来乘以这些元素，即有（f+g）ξ=fξ+gξ，f（ξ+η）=fξ+fη，f（gξ）=（fg）ξ，1ξ=ξ．）我们可以将这种（平直）矢量空间视为o点紧邻域上的一种流形结构（图12.6）。我们称这种矢量空间为M在o点的切空间T0。对T0可作如下的直观理解：它是M上o点的邻域变得越来越小时趋近的极限空间。如果我们用放大倍数越来越高的放大镜来观察o点周围的区域，就会发现该区域变得无限“伸展开来”，在极限情形下，M的“曲率”会被“熨平”，从而给出T0的平直结构。矢量空间T0有（有限）维度n，因为在o点我们可以找到一组n个基元，即量∂/∂x1，……，∂/∂xn，它们指向各坐标轴。T0中的任一元素都能够唯一线性地用这组基元表达出来（亦见§13.5）。
按上述方法我们可构造T0的对偶空间（o点的余矢量空间），它称为M在o点的余切空间
，余矢量场的一个特例是标量场Φ的梯度（或称外导数）dΦ。（在二维情形下，我们已经遇到过这个记号，见§10.3。）余矢量dΦ（分量∂Φ/∂x1，……∂Φ/∂xn）有确定的性质：
dΦ·ξ=ξ（Φ）。
（亦见§10.4。）**〔12.3〕尽管不是所有余矢量都有形式dΦ，但对某些Φ，它们可在任一单点上表达为这种形式。不久我们即会看到为什么这种形式不会扩展为余矢量场。
图12.7 M的某个点上的（非零）余矢量α定义了一个（n－1）维平面元素。满足α·ξ=0的矢量ξ规定了这个面元的各个方向。
图12.8 一般来说，由余矢量场α定义的（n－1）维平面元素会出现扭曲，这使它们无法协调地与（n－1）维曲面族相切——尽管在α=dΦ（Φ是标量场）情形下，它们与Φ=常数的曲面（图10.8里“等高线”的推广）相切。
余矢量与矢量在几何方面的差别是什么呢？在M的每一点上，一个（非零）余矢量α确定了一个（n－1）维平面元，该面元的各个方向由满足α·ξ=0的矢量ξ确定，见图12.7。对于α=dΦ的特例，这些（n－1）维平面元均与常数Φ的（n－1）维曲面族*〔12.4〕（它是如图10.8（a）所示的“等高线”概念的推广）相切。但一般来说，由余矢量α定义的（n－1）维平面元常出现扭曲，这使它们无法协调地与（n－1）维曲面族相切（见图12.8）。[7]
具体到坐标为x1，x2，…，xn的坐标拼块情形，矢量（场）ξ可用一组分量（ξ1，ξ2，…，ξn）来表示，其中每个分量表示的是ξ关于该坐标拼块的各偏微分算子的系数（见§10.4）
就某一点的矢量而言，ξ1，ξ2，…，ξn只是n个实数；对于某个坐标拼块内的矢量场来说，它们是坐标x1，x2，…，xn的n个（光滑）函数（提醒读者注意，这里“ξn”不代表ξ的n次幂）。我们知道，算子“∂/∂xr”表示取第r个坐标轴方向上的变化率，因此，上述ξ表达式把矢量ξ表示为（作为算子它相当于“取ξ方向变化率”）沿各坐标轴方向的那些矢量的线性组合（见图12.9）。
类似地，在坐标拼块内，余矢量（场）α可表为一组分量（α1，α2，…，αn）：
α=α1dx1+α2dx2+…+αndxn，
即表为基本1形式（余矢量）[8]dx1，dx2，…，dxn的线性组合。几何上说，每个dxr表示除了xr轴之外的所有其他坐标轴所张的（n－1）维平面元（图12.9b）。*〔12.5〕标积α·ξ由下式给出：**〔12.6〕
图12.9 坐标拼块（x1，x2，…，xn）下的分量（这里n=3）。（a）对于矢量（场）ξ，这些分量是（ξ=ξ1∂/∂x1+ξ2∂/∂x2+…+ξn∂/∂xn）里的系数（ξ1，ξ2，…，ξn），这里“∂/∂xr”表示“取第r个坐标轴方向上的变化率”（亦见图10.9）。（b）对余矢量（场）α，这些分量是α=α1dx1+α2dx2+…+αndxn，里的系数（α1，α2，…，αn），这里“dxr”表示“xr的梯度”，即除了xr轴之外的所有其他坐标轴所张的（n－1）维平面元素。
图12.10 （a）M的某个点上由独立矢量ξ和η张起的二维平面元素，它描述为双矢量ξ∧η；（b）类似地，由独立矢量ξ，η和ζ张起的三维平面元素通过三矢量ξ∧η∧ζ来描述；（c）（n－2）维平面元素，作为由1形式α，β确定的两个（n－1）维平面元素的交，由α∧β来描述；（d）（n－3）维平面元素作为由1形式上α，β，γ确定的3个（n－1）维平面元素的交，由α∧β∧γ来描述。
α·ξ=α1ξ1+α2ξ2+…+αnξn。