第十章 曲面

10.1 复维和实维

上两个世纪数学上最突出的成就之一是处理非平直多维空间的各种技术的发展。这对本书要达到的目标至关重要，在此我向读者概述一下这些发展，当代物理全仰仗它们。

到目前为止，我们一直考虑的是一维空间。读者可能对这种说法感到奇怪，前几章叙述的不正是复平面、黎曼球面和其他各种黎曼曲面吗？但是，从全纯函数的角度看，这些曲面本质上都只是一维的，正如我们在§8.2指出的，这个维是复维。我们可用一个参数将这种空间点与其他种类的（局域）空间点区别开来，虽然这个参数是个复数。因此，这些“曲面”实际上应被看成是曲线，即复曲线。我们可以将一个复数z分成实部和虚部（x，y），即z=x+iy，这里x和y是两个独立的实参数。但如何将一个复数按此方式进行划分已不属于全纯运算的范畴。只要我们关心的只是全纯结构，就像我们到目前为止所考虑的复空间情形，我们就必须把单个复参数看成是仅提供一维。这至少是我建议应当采取的观点。

另一方面，人们也可以采取相反的观点，就是说，全纯运算只是更一般运算的一种特例。只要愿意，x和y就都可以分开来作为各自独立的参数来考虑。实现这一想法的适当方法是通过复共轭概念，这是一种非全纯的运算。复数z=x+iy的复共轭是由下列形式给出的复数（这里x和y均为实数）：

在z复平面内，得到一个复数的复共轭的运算相当于平面关于实线的反射（见图10.1）。从§8.2的讨论可知，全纯运算总是保复平面定向的。如果我们打算考虑（部分）倒向复平面（复平面取向上下颠倒了个个儿）的共形映射，那么我们就需要将复共轭运算包括进来。但考虑到其他标准运算（加、乘、取极限），复共轭也允许我们将映射一般化，使它们不必是共形的。实际上，部分复平面到部分复平面的任何映射（譬如说是连续变换）都可以通过共轭运算和其他运算一起共同来实现。

图10.1 z=x+iy（x和y均为实数）的复共轭是=x－iy，它可从z平面关于实轴的反射来得到。

说得具体点，我们可以将全纯函数考虑成由加法、乘法运算加上取极限构成的函数（因为这些运算足以构成幂级数，一种作为连续部分和的极限的无限和）。**〔10.1〕如果再综合进复共轭，那么我们就能够生成一般的（譬如说连续的）x和y的函数，因为我们可将x和y分别表示成

（x和y的任何连续函数都可由实数经和、积和取极限来构成）。当考虑z的非全纯函数时，我们启用记号F（z，），这里的意义同前。这么做是要强调，一旦离开了全纯领域，我们就必须把函数看成是定义在实二维而不是复一维空间上的。函数F（z，）同样可看成是由z的实部和虚部来表示，譬如说，我们可将这个函数写成f（x，y）。但尽管我们有f（x，y）=F（z，），f的数学显式一般则不同于F的数学显式。例如，如果，则f（x，y）=2x2－2y2。再举个例子，，则f（x，y）=x2+y2，它是z的模｜z｜的平方，即**〔10.2〕