注释

§4.1

[4.1]这些结果见练习［4.2］。

§4.2

[4.2]这是任何单参数z的复多项式因式分解为线性因子

a0+a1z+a2z2+…+anzn=an（z－b1）（z－b2）…（z－bn）

的直接结果，**〔2.1〕这个结果通常称为“代数基本定理”。

[4.3]有个故事说，在卡尔达诺发誓保守秘密的条件下，塔尔塔利亚曾将这个部分解透露给卡尔达诺。这样，如果信守诺言，卡尔达诺就不能发表他的一般解。然而在这之后，1543年，卡尔达诺到波伦亚作了次旅行，检查了费罗的遗稿并确信，这些解实际上是费罗的遗产。卡尔达诺认为这给了他发表所有这些结果的自由。1545年，卡尔达诺在《大术》一书中发表了这些结果（并对塔尔塔利亚和费罗表示了致谢）。塔尔塔利亚不同意这种做法，这场争论产生了非常恶劣的后果（见Wykes 1969）。

[4.4]进一步了解请见van der Waerden（1985）。

[4.5]其理由是，我们将两个彼此复共轭的复数相加（见§10.1），得到的和总是一个实数。

§4.3

[4.6]从注释2.4可知，0－1即，这种非法运算的“结果”可以方便地表示为“0－1=∞”。

[4.7]“严格”意味着端点值不包括在这个范围内。

[4.8]进一步信息见，例如，Hardy（1940）。

§4.4

[4.9]例如，见Priestley（2003），71页——指“收敛半径”——和Needham（2002），67页，264页。

*〔4.1〕做做看。

**〔4.2〕验证这一点，相关法则为w+z=z+w，w+（u+z）=（w+u）+z，wz=zw，w（uz）=（wu）z，w（u+z）=wu+wz，w+0=w，w1=w。

*〔4.3〕验证这一点。

〔1〕Tartaglia，意为“口吃者”。——译注

*〔4.4〕你能看出如何验证这个表达式吗？

*〔4.5〕你能看出这两个级数之间具有简单关系的基本原因吗？

**〔4.6〕证明这一点。（提示：证明，只要用z=b是给定方程的解，那么这个多项式“除以”z－b就不会有余项。）