注释

§3.1

[3.1]本书中经常用到的记号＞，＜，≥，≤分别表示“大于”、“小于”、“大于或等于”和“小于或等于”。

[3.2]有些读者或许会注意到存在一个明显更短的论证，如果我们由要求a/b为“其中最低项”开始（即a和b没有公因子）的话。但是这就假定了这样一个最低项总是存在的，这虽然是对的，但需要证明。为给定分数A/B寻找最低项表达式（隐性的或显性的——譬如说用欧几里得算法；例子见Hardy and Wright 1945，134页；Davenport 1952，26页；Littlewood 1949，第4章；和Penrose 1989，第2章）涉及类似于文中的推理，但更复杂。

[3.3]人们或许会反对说，上述论证中用实数颇有些奇怪，因为“实有理数”（即实数的商）其实就是实数。但这并不能使文中所述变得无效。我们可以这么说，原论证中a和b取的是整数而非有理数也正是这个原因。因为如果a和b只是有理数，那么论证在“递减”这个问题上就会失效，即使结果本身仍是正确的。

§3.2

[3.4]从因果关系上看，像a+（b+（c+（d+…）－1）－1）－1这样的表达式看起来是相当奇怪的。但它们出现在古希腊人的思想里却是非常自然的（虽然希腊人并未使用这种特殊记号）。文中寻找分数的最低项的欧几里得算法见注释3.2。欧几里得算法（当阐明后）会精确导出这种连分数表达式。希腊人或许还将这种算法用到两个几何长度的比上。按此处考虑的最一般情形，其结果可能是无限连分数。

[3.5]（证明中）有关连分数的更多内容见Davenport（1952）第4章给出的精彩评述。可以这么说，在某些方面，实数的连分数表示要比十进位制展开式更深刻也更有趣，你可以在当代数学的许多不同分支里找到其应用，包括§§2.4，5讨论的双曲几何。另一方面，连分数完全不适合做实际运算，而传统的十进位制表示则要容易得多。

[3.6]二次无理数之所以有此称呼是因为它们是作为一般二次方程

Ax2+Bx+C=0

的解而出现的，这里A不为零，其解为

这里，为使解在实数域内，我们要求B2大于4AC。当A，B和C是整数或有理数，且方程没有有理数解时，该方程的解就是二次无理数。

[3.7]Stelios Negrepontis教授告诉我，这个证据可从柏拉图的对话体“三部曲”《泰阿泰德》、《智者》、《政治家》中的第三部《政治家》中找到，见Negrepontis（2000）。

[3.8]关于古希腊人对空间性质的思考，见Sorabji（1983，1988）。

[3.9]见Hardy（1914）；Conway（1976）；Burkill（1962）。

§3.3

[3.10]“百万百万”的科学记法“1012”用了注释1.2和2.4所描述的指数形式。本书中，我将尽量避免使用像“百万”这样的词汇，特别是“十亿”，用科学记法要清楚得多。单词“十亿”特别容易让人糊涂，因为在美国人的使用中——现在英国也普遍采用了——“十亿”是指109，而在英国的较老（更合逻辑）的用法中，与大多数其他欧洲国家的语言中一样，是指1012。像10－6这样的负指数（指“百万分之一”），采用的也是常规的科学记法。

1012米的距离大约是日地距离的7倍。这差不多是太阳到木星的距离，虽然这个距离在欧几里得时代不可能知道，而且估计得也过小。

[3.11]例子见Russell（1927），第4章。

[3.12]Schrödinger（1952），30～31页。

[3.13]见Stachel（1993）。

[3.14]Einstein（1955），166页。

[3.15]见Snyder（1947）；Schild（1949）；Ahmavara（1965）。

[3.16]见Ashtekar（1986）；Ashtekar and Lewandowski（2004）；Smolin（1988，2001）；Rovelli（1998，2003）。

§3.4

[3.17]这里的有限情形下的“序数”的概念也可以扩展到无限序数，最小的叫康托尔“ω”，它是所有有限序数的有序集。

[3.18]但“构造”的概念不应在过强的意义上理解。在§16.6我们将发现，有许多（实际上是绝大部分）实数是无法用计算程序来得到的。

§3.5

[3.19]爱尔兰物理学家斯托尼（George Johnstone Stoney）于1874年第一个给出基本电荷的（粗略）估计值，1891年，将这个基本单位命名为“电子”。1909年，美国物理学家密立根（Robert Andrews Millikan）设计了著名的“油滴实验”，精确证明验证了带电体（即实验中的油滴）的电荷量是明确规定值——电子电荷的整数倍。

[3.20]1959年，利特尔顿（R.A.Lyttleton）和邦迪（H.Bondi）提出，质子和（负）电子间微小的电荷偏差（1018分之一的量级）或许能解释宇宙的膨胀（这方面内容见§§27.11，13和第28章）。见Lyttleton and Bondi（1959）。不幸的是，这个理论预言的这个偏差不久就被几个实验所否定。但不管怎样，这一见解提供了一种创造性思考的范例。

[3.21]我这里将“加和性”量子数与物理学家的所谓“乘积性”量子数区别开来，后者将在§5.5介绍。

[3.22]例如，在“分数量子霍尔效应”中，人们会发现有理数在其中扮演着关键角色，例子见Fröhlich and Pedrini（2000）。

*〔3.1〕试着用你的计算器（假定它有“”和“x－1”键）得到足够精度的这些展开式。取π= 3.141 592 653 589 793…（提示：在纸上记下十进制下每个数的整数部分，然后求小数部分的倒数；再将得到的十进制数的整数部分记下，然后再求剩余小数部分的倒数；依次类推，即可得到所需精度的展开式。）

**〔3.2〕假定这就是两个连分数表达式的最终循环序列，证明：他们所代表的必定是等号左边的量。（提示：找出这个量满足的二次方程，并参考注释3.6。）

〔1〕dactylos，古希腊长度单位，1指约为1.65厘米。——译注

**〔3.3〕你能知道为什么吗？

***〔3.4〕你能看出如何建立这些法则吗？