1.5 传感器的动态特性

1.5.1 典型传感器动态特性的数学模型

输入量随着时间变化时，传感器对输入信息的检测就是对各种动态信号进行检测。这种情况下，传感器的输入—输出特性（基本特性）体现为动态特征。

1.5.1.1 理想传感器的动态特性

△ 理想动态特性的传感器，其输出量的时间函数y（t）与输入量的时间函数x（t）之间的关系应为

y（t）=Am（t）·x（t）；并且Am（t）=A为常数

即输出量y（t）与输入量x（t）二者具有相同的时间函数，它们随时间变化的规律完全一样。理想动态特性的传感器，其输出量应能立即无失真地跟随着输入量变化，实时地再现输入量的每一个瞬时值及其变化规律（波形）。

1.5.1.2 实际传感器的动态误差

△ 实际的传感器，多数会存在着延迟、惯性和阻尼等内在因素，难以具备理想的动态特性。实际的传感器，其Am（t）不是常数，而是一个与时间变化有关的参数，因此传感器的输出信号y（t）也不会与输入信号x（t）具有完全相同的时间函数。输入信号与传感器响应的这种差异性，主要体现在传感器的动态检测中，这就是传感器的动态误差。

△ 为了把握动态检测条件下传感器输出—输入间动态误差的规律，有必要研究传感器的输出端对输入激励的响应特性。研究实际传感器的动态特性，需要建立一种比较合乎典型情况下的传感器动态响应的数学模型，用以描述实际传感器输出信号的时间函数y（t）与输入信号时间函数x（t）之间的关系。

1.5.1.3 数学模型

△ 为了研究传感器的动态响应特性，可以建立典型传感器动态特性的数学模型。假定典型传感器系统属于线性定常（线性时不变）系统，可以用描述线性定常系统的方法来研究典型传感器的动态特性。

△ 线性定常系统的数学模型是高阶常系数线性微分方程。下式（1-9）即为n阶常系数线性微分方程的一般表达式：

式中：x（t）——输入量；

y（t）——输出量；

t——时间；

a1，a2，a3，…，an——常数系数（由传感器自身内部构造决定）；

b1，b2，b3，…bm——常数系数（由传感器自身内部构造决定）；

n和m——导数的阶数，其中n代表微分方程的阶数。

△ 有些传感器的数学模型，可以简化为一阶或二阶系统。用一阶或二阶微分方程来近似地描述传感器的动态特性。由式（1-9）可知：

●一阶系统的微分方程表达式为

●二阶系统的微分方程表达式为

1.5.2 典型一阶传感器系统的动态特性分析

1.5.2.1 一阶传感器系统的频率响应

△ 将一阶传感器系统的微分方程式（1-10）改写为

并令（传感器的时间常数）；（传感器的静态灵敏度）；则可以写出典型一阶传感器的微分方程式为

△ 设t=0时，x（t），y（t）及它们的导数都为0；

●对式（1-13）等式两边做傅立叶变换，可得到y（t）、x（t）的傅氏变换Y（jω）与X（jω）之比的关系式为；

●所以，一阶传感器系统的频率响应特性H（jω）为

上式中，

△ 因此，典型一阶传感器系统的幅频特性A（ω）即为

图1-10示出了典型一阶传感器系统的幅频特性A（ω）曲线。从图1-10中可以看出，当ω较小时，一阶传感器系统的幅频特性比较平坦。

△ 典型一阶传感器系统的相频特性φ（ω）为

图1-11示出了典型一阶传感器系统的相频特性φ（ω）曲线。

1.5.2.2 一阶传感器系统的阶跃响应

△ 传感器的动态特性，也可以在时域里用瞬态响应和过渡过程进行分析。对传感器突然加载或突然卸载，即属于阶跃性信息变化。因此传感器的阶跃响应特性，能反映传感器的输出端对突然到来的输入信号，其瞬态响应的快慢和到达稳定输出的过程。故阶跃信号常用作测试传感器动态响应的激励信号。

△ 设单位阶跃信号（图1-12）为

△ 典型一阶传感器系统微分方程（式1-13）如下：

由上式的微分方程，可解得一阶传感器系统的阶跃响应表达式y（t）为

△ 由（图1-13）阶跃响应曲线可以看出一阶传感器系统有如下特点：

●传感器输出信号的初始值为零，即y（0）=0；

●随着时间推移，输出信号y（t）逐渐接近稳态值1；

●当t=τ时，输出信号y（t）=y（τ）=0.632。

△τ又称为传感器系统的时间常数。在一阶传感器系统的情况下，τ为输出信号y（t）上升到稳态值的63.2%所经历的时间。时间常数τ是决定一阶传感器响应速度的重要参数，传感器的时间常数τ越小，响应就越迅速。因此减小传感器的时间常数τ，是设计和开发新型传感器的努力方向之一。

1.5.3 典型二阶传感器系统的动态特性分析

1.5.3.1 二阶传感器系统的频率特性

△ 典型二阶传感器系统的微分方程表达式（式1-11）如下：

△ 并令

△ 则可写出典型传感器的二阶微分方程式为

对上式（1-19）两边做傅里叶变换，可得到y（t）、x（t）的傅氏变换Y（jω）与X（jω）之比的关系式，并由此得到典型二阶传感器频率响应特性H（jω）表达式，即

△ 典型二阶传感器系统的幅频特性A（ω）为

图1-14示出了典型二阶传感器系统的幅频特性曲线

△ 典型二阶传感器系统的相频特性φ（ω）为

图1-15示出了典型二阶传感器系统的相频特性曲线。

△ 由图1-14、图1-15及式（1-21）、式（1-22）可以看出：

●二阶系统阻尼比ξ，影响二阶传感器系统的频率特性曲线形状。

●当阻尼比0<ξ<1，并接近于1（属欠阻尼状态），且ω远小于ωn时——幅频特性曲线平直，相频特性曲线接近线性关系。传感器系统频率特性良好（属于正常工作状态）。

●当阻尼比ξ减小，并趋近0时，幅频特性曲线在系统固有频率ωn附近逐渐变高，成峰。这说明激励频率ω接近ωn时，系统产生了谐振。（实践表明，当ξ≥0.707时，便可基本抑制谐振。）

1.5.3.2 二阶传感器系统的阶跃响应

△ 阶跃信号也常用作测试二阶传感器系统在时域里的动态特性。

仍设单位阶跃信号（如图1-16）为

△ 典型二阶传感器系统微分方程（式1-19）如下，其输入信号x（t）为单位阶跃信号（如图1-16所示）。

●当阻尼比0<ξ<1（欠阻尼状态）时：

由二阶传感器系统的微分方程（式1-19），可解得其阶跃响应y（t）为

式中，ωd=ωn是阻尼振荡（衰减振荡）频率。

由式（1-24）可以看出，在欠阻尼状态下，二阶传感器系统的阶跃响应中包含有衰减振荡的成分。

●当阻尼比ξ=1（临界阻尼状态）时：

由二阶传感器系统的微分方程，可解得其临界阻尼状态下的阶跃响应y（t）为

从式（1-25）可以看出，在ξ=1的临界阻尼状态下，二阶传感器系统的阶跃响应中已无自激振荡成分。

●当阻尼比ξ>1（过阻尼状态）时：

由二阶传感器系统的微分方程，可解得其过阻尼状态下的阶跃响应y（t）为

由式（1-26）可以看出，在阻尼比ξ>1的过阻尼状态下，二阶传感器系统的阶跃响应中没有自激振荡发生。并且指数项中的第一项比第二项衰减得慢，响应建立的过程已类似于一阶传感器系统的情形。

△ 图1-17示出了二阶传感器系统在单位阶跃信号激励下的响应情况。由图1-17中各条不同ξ值的响应曲线，可以归纳出二阶传感器系统阶跃响应的一些特点。

●在0<ξ<1（欠阻尼）情况下，使用单位阶跃信号作为输入信号时，二阶传感器系统的输出信号是衰减振荡（阻尼振荡）形态。衰减振荡的角频率为ωd；衰减振荡的幅度按指数规律衰减，衰减速度受ξ影响。ξ越大，响应的上冲量越小，振荡衰减速度也越快，其输出信号也越快达到稳定值；ξ越小，响应上冲量越大，振荡幅度衰减相对较慢，输出信号达到稳定值的时间也相对较长。

●当ξ≥1时（临界阻尼或过阻尼）情况下，其阶跃响应已无上冲量，衰减振荡现象也消失殆尽。其响应过渡只是单调上升，逐渐趋近于稳态值。ξ值越增大，响应上升速度越慢，系统也逐渐变得迟钝，二阶传感器系统的响应特性逐渐向一阶传感器系统的特点靠近。

△ 当阻尼比ξ=0时，二阶传感器系统进入无阻尼状态，系统处于自激振荡的临界状态。这时，二阶传感器系统的阶跃响应将成为无衰减的等幅振荡形式。将ξ=0代入式（1-24）中可以得到：

●等幅振荡响应的表达式

●在无阻尼状态时，；

即无阻尼时，响应的等幅振荡频率ωd就是系统固有频率ωn；

●事实上，系统不可能完全没有阻尼（ξ不可能完全为0），在有低阻尼状态的振荡中，仍是ωd<ωn，其响应振荡幅度也会逐渐衰减。

△ 关于阻尼比（ξ）影响的归纳：

●0<ξ<1是欠阻尼状态。欠阻尼状态是二阶传感器系统的正常工作状态；0<ξ<1区间也是二阶传感器系统中，ξ值的正常取值范围。

●ξ=1是临界阻尼状态。

●ξ>1是过阻尼状态。在过阻尼状态，传感器的响应速度变慢，系统变得迟钝。二阶传感器系统的特性逐渐向一阶系统特性靠近。

●ξ=0是无阻尼状态。在无阻尼状态里，在外界信号激励的作用下，系统将会发生自激振荡。

△ 阻尼比ξ，是设计和选择传感器时应考虑的一个重要参数。二阶传感器系统通常是工作在欠阻尼状态中，ξ取值应在0.6～0.8之间，这样可以兼顾系统的稳定性和响应的灵敏性。

△ 二阶传感器系统的固有频率ωn是由传感器系统的内部构造决定的参数。ωn越高，二阶传感器系统之响应达到稳定状态的速度就越快，传感器的工作频率也相应提高。因此，增高传感器的固有频率ωn，也是设计和开发新型传感器的努力方向之一。

△ 一般情况下，传感器系统的信号频率（工作频率）ω，应低于系统固有频率ωn的3～5倍，以使传感器系统对检测信息的变换保持良好的线性特征。

1.5.4 传感器的传递函数

△ 假定初始条件为0；即在t=0时，传感器的输入量x（t）和输出量y（t）、以及它们的各阶导数的初始值均为0；则传感器的传递函数为

式中，Y（s）——y（t）的拉氏变换；

X（s）——x（t）的拉氏变换；

s=β+jω是复变量，且β>0。

△n阶常系数线性微分方程的一般表达式如下：

△ 设初始条件为0；对上式n阶常系数线性微分方程等式两边做拉普拉斯变换，可得到

即

△ 由式（1-30）可以看出，式右是一个常数系数表达式。这些常系数只由传感器的内部构造（参数）决定。因此，传递函数H（s）只与传感器系统的内部结构（参数）有关，而与输入信号x（t）无关。因而传递函数H（s）是反映传感器自身特性的一种表达式。

△ 传感器的传递函数表达式又建立起了传感器输入量x（t）与输出响应y（t）之间的联系，因此，它又是一个描述传感器信息传递特性的函数表达式。

△ 引入传递函数后，Y（s）、X（s）和H（s）三者中，只要知道了其中两个，便可求得第三个。这样便可以不需要知道复杂系统的具体构造和具体参数，只要给传感器系统施加一个简单激励信号x0（t）（如阶跃信号），并取得系统对x0（t）的响应y0（t），就可以得到系统的传递函数H（s）；知晓了系统传递函数H（s）后，根据已知或假定的激励函数x（t），便可求得响应函数y（t）。

△ 此即表明：当知晓了系统的传递函数H（s）后，

●由已知信号x（t）可得其拉式变换：

X（s）=L[x（t）]

●这样便可以得到y（t）的拉式变换：

●对L[y（t）]取反拉氏变换，便可得到输出响应y（t）为

这为我们了解一个传感器系统的信息传递特性提供了方便。